微分積分例

$y = x - \frac{1}{75} x^{3}$ , $y = 0$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$x - \frac{1}{75} x^{3} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について $x - \frac{1}{75} x^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x^{3}$ と $\frac{1}{75}$ をまとめます。

$x - \frac{x^{3}}{75} = 0$

ステップ 1.2.2

$x$ を $x - \frac{x^{3}}{75}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x \cdot 1 - \frac{x^{3}}{75} = 0$

ステップ 1.2.2.2

$x$ を $- \frac{x^{3}}{75}$ で因数分解します。

$x \cdot 1 + x (- \frac{x^{2}}{75}) = 0$

ステップ 1.2.2.3

$x$ を $x \cdot 1 + x (- \frac{x^{2}}{75})$ で因数分解します。

$x (1 - \frac{x^{2}}{75}) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$1 - \frac{x^{2}}{75} = 0 + y = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$1 - \frac{x^{2}}{75}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$1 - \frac{x^{2}}{75}$ が $0$ に等しいとします。

$1 - \frac{x^{2}}{75} = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について $1 - \frac{x^{2}}{75} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \frac{x^{2}}{75} = - 1$

ステップ 1.2.5.2.2

方程式の両辺に $- 75$ を掛けます。

$- 75 (- \frac{x^{2}}{75}) = - 75 \cdot - 1$

ステップ 1.2.5.2.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.3.1.1

$- 75 (- \frac{x^{2}}{75})$ を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.3.1.1.1

$75$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.2.3.1.1.1.1

$- \frac{x^{2}}{75}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 75 \frac{- x^{2}}{75} = - 75 \cdot - 1$

ステップ 1.2.5.2.3.1.1.1.2

$75$ を $- 75$ で因数分解します。

$75 (- 1) \frac{- x^{2}}{75} = - 75 \cdot - 1$

ステップ 1.2.5.2.3.1.1.1.3

共通因数を約分します。

$75 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{75} = - 75 \cdot - 1$

ステップ 1.2.5.2.3.1.1.1.4

式を書き換えます。

$- - x^{2} = - 75 \cdot - 1$

ステップ 1.2.5.2.3.1.1.2

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.3.1.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 x^{2} = - 75 \cdot - 1$

ステップ 1.2.5.2.3.1.1.2.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} = - 75 \cdot - 1$

ステップ 1.2.5.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.3.2.1

$- 75$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} = 75$

ステップ 1.2.5.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{75}$

ステップ 1.2.5.2.5

$\pm \sqrt{75}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.5.1

$75$ を $5^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.5.2.5.1.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{25 (3)}$

ステップ 1.2.5.2.5.1.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

ステップ 1.2.5.2.5.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 5 \sqrt{3}$

ステップ 1.2.5.2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.5.2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 5 \sqrt{3}$

ステップ 1.2.5.2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 5 \sqrt{3}$

ステップ 1.2.5.2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

ステップ 1.2.6

最終解は $x (1 - \frac{x^{2}}{75}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

ステップ 1.3

$0$ を $x$ に代入します。

$y = 0$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(0, 0)$

$(5 \sqrt{3}, 0)$

$(- 5 \sqrt{3}, 0)$

$(0, 0)$

$(5 \sqrt{3}, 0)$

$(- 5 \sqrt{3}, 0)$

ステップ 2

$x - \frac{1}{75} x^{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$x^{3}$ と $\frac{1}{75}$ をまとめます。

$y = x - \frac{x^{3}}{75}$

ステップ 2.2

$x$ と $- \frac{x^{3}}{75}$ を並べ替えます。

$y = - \frac{x^{3}}{75} + x$

ステップ 3

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} 0 d x - \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - \frac{x^{3}}{75} + x d x$

ステップ 4

積分し、 $- 5 \sqrt{3}$ と $0$ の間の面積を求めます。

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ステップ 4.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} 0 - (- \frac{x^{3}}{75} + x) d x$

ステップ 4.2

$0$ から $- \frac{x^{3}}{75} + x$ を引きます。

$\int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - (- \frac{x^{3}}{75} + x) d x$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} \frac{x^{3}}{75} - x d x$

ステップ 4.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} \frac{x^{3}}{75} d x + \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - x d x$

ステップ 4.5

$\frac{1}{75}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{75}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{75} \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} x^{3} d x + \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - x d x$

ステップ 4.6

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0} + \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - x d x$

ステップ 4.7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} x d x$

ステップ 4.8

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0})$

ステップ 4.9

答えを簡約します。

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ステップ 4.9.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0})$

ステップ 4.9.2

代入し簡約します。

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ステップ 4.9.2.1

$0$ および $- 5 \sqrt{3}$ で $\frac{1}{4} x^{4}$ の値を求めます。

$\frac{1}{75} ((\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 5 \sqrt{3})}^{4}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0})$

ステップ 4.9.2.2

$0$ および $- 5 \sqrt{3}$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$\frac{1}{75} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 5 \sqrt{3})}^{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{75} (\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 5 \sqrt{3})}^{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.2

$\frac{1}{4}$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} {(- 5 \sqrt{3})}^{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.3

$- 5$ を $- 5 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} {(- 5 (\sqrt{3}))}^{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.4

積の法則を $- 5 (\sqrt{3})$ に当てはめます。

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} ({(- 5)}^{4} {\sqrt{3}}^{4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.5

$- 5$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 {\sqrt{3}}^{4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.6

${\sqrt{3}}^{4}$ を $3^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{4}{2}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.6.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.3.6.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.6.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.3.6.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.6.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.6.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2}{1}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.6.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{2})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.7

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 9)) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.8

$625$ に $9$ をかけます。

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} \cdot 5625) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.9

$5625$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{75} (0 - 5625 (\frac{1}{4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.10

$- 5625$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{75} (0 + \frac{- 5625}{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{75} (0 - \frac{5625}{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.12

$0$ から $\frac{5625}{4}$ を引きます。

$\frac{1}{75} (- \frac{5625}{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.13

$\frac{1}{75}$ に $\frac{5625}{4}$ をかけます。

$- \frac{5625}{75 \cdot 4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.14

$75$ に $4$ をかけます。

$- \frac{5625}{300} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.15

$5625$ と $300$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.3.15.1

$75$ を $5625$ で因数分解します。

$- \frac{75 (75)}{300} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.15.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.3.15.2.1

$75$ を $300$ で因数分解します。

$- \frac{75 \cdot 75}{75 \cdot 4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.15.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{75 \cdot 75}{75 \cdot 4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.15.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{75}{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.16

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{75}{4} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.17

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.3.17.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$- \frac{75}{4} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.17.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.3.17.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{75}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.17.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{75}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.17.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{75}{4} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.17.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.18

$- 5$ を $- 5 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{{(- 5 (\sqrt{3}))}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.19

積の法則を $- 5 (\sqrt{3})$ に当てはめます。

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{{(- 5)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.20

$- 5$ を $2$ 乗します。

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.21

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.3.21.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.21.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.21.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.21.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.3.21.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.21.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3^{1}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.21.5

指数を求めます。

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3}{2})$

ステップ 4.9.2.3.22

$25$ に $3$ をかけます。

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{75}{2})$

ステップ 4.9.2.3.23

$0$ から $\frac{75}{2}$ を引きます。

$- \frac{75}{4} - - \frac{75}{2}$

ステップ 4.9.2.3.24

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{75}{4} + 1 (\frac{75}{2})$

ステップ 4.9.2.3.25

$\frac{75}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2}$

ステップ 4.9.2.3.26

$\frac{75}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 4.9.2.3.27

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.3.27.1

$\frac{75}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{75}{4} + \frac{75 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.9.2.3.27.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{75}{4} + \frac{75 \cdot 2}{4}$

ステップ 4.9.2.3.28

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 75 + 75 \cdot 2}{4}$

ステップ 4.9.2.3.29

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.3.29.1

$75$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 75 + 150}{4}$

ステップ 4.9.2.3.29.2

$- 75$ と $150$ をたし算します。

$\frac{75}{4}$

ステップ 5

$A r e a = \int_{0}^{5 \sqrt{3}} - \frac{x^{3}}{75} + x d x - \int_{0}^{5 \sqrt{3}} 0 d x$

ステップ 6

積分し、 $0$ と $5 \sqrt{3}$ の間の面積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{0}^{5 \sqrt{3}} - \frac{x^{3}}{75} + x - (0) d x$

ステップ 6.2

$- \frac{x^{3}}{75} + x$ から $0$ を引きます。

$\int_{0}^{5 \sqrt{3}} - \frac{x^{3}}{75} + x d x$

ステップ 6.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{5 \sqrt{3}} - \frac{x^{3}}{75} d x + \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x d x$

ステップ 6.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{0}^{5 \sqrt{3}} \frac{x^{3}}{75} d x + \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x d x$

ステップ 6.5

$\frac{1}{75}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{75}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{75} \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x^{3} d x) + \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x d x$

ステップ 6.6

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$- \frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{5 \sqrt{3}} + \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x d x$

ステップ 6.7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- \frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{5 \sqrt{3}} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5 \sqrt{3}}$

ステップ 6.8

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

$5 \sqrt{3}$ および $0$ で $\frac{1}{4} x^{4}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{75} ((\frac{1}{4} {(5 \sqrt{3})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5 \sqrt{3}}$

ステップ 6.8.2

$5 \sqrt{3}$ および $0$ で $\frac{1}{2} x^{2}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} {(5 \sqrt{3})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.3.1

$5$ を $5 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} {(5 (\sqrt{3}))}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.2

積の法則を $5 (\sqrt{3})$ に当てはめます。

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (5^{4} {\sqrt{3}}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.3

$5$ を $4$ 乗します。

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 {\sqrt{3}}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.4

${\sqrt{3}}^{4}$ を $3^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.4.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{4}{2}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.4.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.3.4.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.3.4.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.4.4.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2}{1}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.4.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{2}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.5

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 9) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.6

$625$ に $9$ をかけます。

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} \cdot 5625 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.7

$\frac{1}{4}$ と $5625$ をまとめます。

$- \frac{1}{75} (\frac{5625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.8

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{1}{75} (\frac{5625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.9

$0$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{75} (\frac{5625}{4} + 0 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.10

$0$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{1}{75} (\frac{5625}{4} + 0) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.11

$\frac{5625}{4}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{75} \cdot \frac{5625}{4} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.12

$\frac{5625}{4}$ に $\frac{1}{75}$ をかけます。

$- \frac{5625}{4 \cdot 75} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.13

$4$ に $75$ をかけます。

$- \frac{5625}{300} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.14

$5625$ と $300$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.3.14.1

$75$ を $5625$ で因数分解します。

$- \frac{75 (75)}{300} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.14.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.3.14.2.1

$75$ を $300$ で因数分解します。

$- \frac{75 \cdot 75}{75 \cdot 4} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.14.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{75 \cdot 75}{75 \cdot 4} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.14.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.15

$5$ を $5 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} {(5 (\sqrt{3}))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.16

積の法則を $5 (\sqrt{3})$ に当てはめます。

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (5^{2} {\sqrt{3}}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.17

$5$ を $2$ 乗します。

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 {\sqrt{3}}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.18

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.3.18.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.18.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.18.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.18.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.3.18.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.18.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3^{1}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.18.5

指数を求めます。

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.19

$25$ に $3$ をかけます。

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} \cdot 75 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.20

$\frac{1}{2}$ と $75$ をまとめます。

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

ステップ 6.8.3.21

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

ステップ 6.8.3.22

$0$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

ステップ 6.8.3.23

$0$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} + 0$

ステップ 6.8.3.24

$\frac{75}{2}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2}$

ステップ 6.8.3.25

$\frac{75}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 6.8.3.26

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.3.26.1

$\frac{75}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{75}{4} + \frac{75 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.8.3.26.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{75}{4} + \frac{75 \cdot 2}{4}$

ステップ 6.8.3.27

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 75 + 75 \cdot 2}{4}$

ステップ 6.8.3.28

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.3.28.1

$75$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 75 + 150}{4}$

ステップ 6.8.3.28.2

$- 75$ と $150$ をたし算します。

$\frac{75}{4}$

ステップ 7

面積 $\frac{75}{4} + \frac{75}{4}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{75 + 75}{4}$

ステップ 7.2

$75$ と $75$ をたし算します。

$\frac{150}{4}$

ステップ 7.3

$150$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$2$ を $150$ で因数分解します。

$\frac{2 (75)}{4}$

ステップ 7.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 75}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 75}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{75}{2}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例