微分積分例

$2 y^{2} - \sqrt{x} = 28$ , $(16, 4)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 16$ と $y = 4$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 28$

ステップ 1.2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (28)$

ステップ 1.3

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.2

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 y^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$4 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$4 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 1.3.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.3.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.3.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 1.3.3.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 1.3.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 1.3.3.8

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$4 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.3.3.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$4 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.4

$28$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $28$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$4 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 1.6

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.6.1

方程式の両辺に $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を足します。

$4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.6.2

$4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ の各項を $4 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.6.2.1

$4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ の各項を $4 y$ で割ります。

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

ステップ 1.6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.6.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

ステップ 1.6.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

ステップ 1.6.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

ステップ 1.6.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

ステップ 1.6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.6.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 y}$

ステップ 1.6.2.3.2

まとめる。

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (4 y)}$

ステップ 1.6.2.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.6.2.3.3.1

$1$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 y}$

ステップ 1.6.2.3.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$y' = \frac{1}{8 x^{\frac{1}{2}} y}$

ステップ 1.6.2.3.3.3

$\frac{1}{8 x^{\frac{1}{2}} y}$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{1}{8 y x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{8 y x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.8

$y = 4$ と $x = 16$ における値を求めます。

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ステップ 1.8.1

式の変数 $x$ を $16$ で置換えます。

$\frac{1}{8 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.8.2

式の変数 $y$ を $4$ で置換えます。

$\frac{1}{8 (4) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.8.3

分母を簡約します。

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ステップ 1.8.3.1

$8$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{32 \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.8.3.2

$32$ を $2^{5}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2^{5} \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.8.3.3

$16$ を $2^{4}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2^{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.8.3.4

${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.8.3.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.8.3.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.8.3.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}}$

ステップ 1.8.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}$

ステップ 1.8.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2}}$

ステップ 1.8.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2^{5 + 2}}$

ステップ 1.8.3.6

$5$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2^{7}}$

ステップ 1.8.4

$2$ を $7$ 乗します。

$\frac{1}{128}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{1}{128}$ と与えられた点 $(16, 4)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (4) = \frac{1}{128} \cdot (x - (16))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 4 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{128} \cdot (x - 16)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 4 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 4 = \frac{1}{128} x + \frac{1}{128} \cdot - 16$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{1}{128}$ と $x$ をまとめます。

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{128} \cdot - 16$

ステップ 2.3.1.5

$16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.5.1

$16$ を $128$ で因数分解します。

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 (8)} \cdot - 16$

ステップ 2.3.1.5.2

$16$ を $- 16$ で因数分解します。

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.5.3

共通因数を約分します。

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.5.4

式を書き換えます。

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{8} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.6

$\frac{1}{8}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{- 1}{8}$

ステップ 2.3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$y - 4 = \frac{x}{128} - \frac{1}{8}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 4$

ステップ 2.3.2.2

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{8}{8}$

ステップ 2.3.2.3

$4$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 4 \cdot 8}{8}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$4$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 32}{8}$

ステップ 2.3.2.5.2

$- 1$ と $32$ をたし算します。

$y = \frac{x}{128} + \frac{31}{8}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{128} x + \frac{31}{8}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例