微分積分例

$y = \sqrt{7 x}$ , $(7, 7)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 7$ と $y = 7$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7 x}$ を ${(7 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(7 x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.2

$7$ を $7 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(7 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.3

積の法則を $7 (x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$7^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.6

公分母の分子をまとめます。

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 1.8

分数の前に負数を移動させます。

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 1.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$7^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.10

$7^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{7^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.12

$x = 7$ で微分係数を求めます。

$\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 {(7)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13

簡約します。

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ステップ 1.13.1

共通因数を約分します。

$\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 {(7)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{1}{2}$ と与えられた点 $(7, 7)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (7) = \frac{1}{2} \cdot (x - (7))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 7 = \frac{1}{2} \cdot (x - 7)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{2} \cdot (x - 7)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 7 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 7)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 7 = \frac{1}{2} \cdot (x - 7)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 7 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 7$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y - 7 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 7$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{1}{2}$ と $- 7$ をまとめます。

$y - 7 = \frac{x}{2} + \frac{- 7}{2}$

ステップ 2.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y - 7 = \frac{x}{2} - \frac{7}{2}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $7$ を足します。

$y = \frac{x}{2} - \frac{7}{2} + 7$

ステップ 2.3.2.2

$7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{x}{2} - \frac{7}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.3.2.3

$7$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x}{2} - \frac{7}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 7 + 7 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$7$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 7 + 14}{2}$

ステップ 2.3.2.5.2

$- 7$ と $14$ をたし算します。

$y = \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例