微分積分例

$y = \frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ , $(0, 8)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = 8$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ を ${(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}$ に書き換えます。

$8 \frac{d}{d x} [{(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x) + \cos (x)$ とします。

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

ステップ 1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x) + \cos (x)$ で置き換えます。

$8 (- {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

ステップ 1.3

和の法則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8 ({(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\sin (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 1.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 1.5

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 1.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 8 \frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 1.7

簡約します。

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ステップ 1.7.1

項をまとめます。

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ステップ 1.7.1.1

$- 8$ と $\frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 1.7.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 1.7.2

$- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$ の因数を並べ替えます。

$- (\cos (x) - \sin (x)) \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 1.8

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(\sin (0) + \cos (0))}^{2}}$

ステップ 1.9

簡約します。

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ステップ 1.9.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.9.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + \cos (0))}^{2}}$

ステップ 1.9.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + 1)}^{2}}$

ステップ 1.9.1.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1^{2}}$

ステップ 1.9.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1}$

ステップ 1.9.2

項を簡約します。

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ステップ 1.9.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.9.2.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- (1 - \sin (0)) \frac{8}{1}$

ステップ 1.9.2.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- (1 - 0) \frac{8}{1}$

ステップ 1.9.2.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- (1 + 0) \frac{8}{1}$

ステップ 1.9.2.2

式を簡約します。

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ステップ 1.9.2.2.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 1 \cdot 1 \frac{8}{1}$

ステップ 1.9.2.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 (\frac{8}{1})$

ステップ 1.9.2.2.3

$8$ を $1$ で割ります。

$- 1 \cdot 8$

ステップ 1.9.2.2.4

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 8$ と与えられた点 $(0, 8)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (8) = - 8 \cdot (x - (0))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 8 = - 8 \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y - 8 = - 8 x$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$y = - 8 x + 8$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例