微分積分例

$y = \frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ , $(2, 6)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = 6$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(2 x - 5)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{({(2 x - 5)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

${({(2 x - 5)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

ステップ 1.3.3

${(2 x - 5)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

ステップ 1.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 2 x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 5$ とします。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

ステップ 1.4.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 5$ で置き換えます。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 (2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

ステップ 1.5

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

ステップ 1.5.2

$2 x - 5$ を ${(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.2.1

$2 x - 5$ を ${(2 x - 5)}^{2}$ で因数分解します。

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

ステップ 1.5.2.2

$2 x - 5$ を $- 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ で因数分解します。

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

ステップ 1.5.2.3

$2 x - 5$ を $(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))$ で因数分解します。

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

ステップ 1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1

$2 x - 5$ を ${(2 x - 5)}^{4}$ で因数分解します。

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.6.2

共通因数を約分します。

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.6.3

式を書き換えます。

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.7

総和則では、 $2 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.10

$2$ に $1$ をかけます。

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.11

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + 0)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.12

項を簡約します。

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ステップ 1.12.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.12.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$3 \frac{2 x - 5 - 4 x}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.12.3

$2 x$ から $4 x$ を引きます。

$3 \frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.12.4

$3$ と $\frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.13

簡約します。

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ステップ 1.13.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (- 2 x) + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.13.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.13.2.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 6 x + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.13.2.2

$3$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{- 6 x - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.13.3

$3$ を $- 6 x - 15$ で因数分解します。

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ステップ 1.13.3.1

$3$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 2 x) - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.13.3.2

$3$ を $- 15$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 2 x) + 3 (- 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.13.3.3

$3$ を $3 (- 2 x) + 3 (- 5)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.13.4

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (2 x) - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.13.5

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.13.6

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (5)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.13.7

$- (2 x + 5)$ を $- 1 (2 x + 5)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.13.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 (2 x + 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.14

$x = 2$ で微分係数を求めます。

$- \frac{3 (2 (2) + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

ステップ 1.15

簡約します。

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ステップ 1.15.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.15.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{3 (4 + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

ステップ 1.15.1.2

$4$ と $5$ をたし算します。

$- \frac{3 \cdot 9}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

ステップ 1.15.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.15.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{3 \cdot 9}{{(4 - 5)}^{3}}$

ステップ 1.15.2.2

$4$ から $5$ を引きます。

$- \frac{3 \cdot 9}{{(- 1)}^{3}}$

ステップ 1.15.2.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- \frac{3 \cdot 9}{- 1}$

ステップ 1.15.3

式を簡約します。

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ステップ 1.15.3.1

$3$ に $9$ をかけます。

$- \frac{27}{- 1}$

ステップ 1.15.3.2

$27$ を $- 1$ で割ります。

$- - 27$

ステップ 1.15.3.3

$- 1$ に $- 27$ をかけます。

$27$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $27$ と与えられた点 $(2, 6)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (6) = 27 \cdot (x - (2))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$27 \cdot (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 6 = 0 + 0 + 27 \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 6 = 27 x + 27 \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.4

$27$ に $- 2$ をかけます。

$y - 6 = 27 x - 54$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y = 27 x - 54 + 6$

ステップ 2.3.2.2

$- 54$ と $6$ をたし算します。

$y = 27 x - 48$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例