微分積分例

$y = \frac{36}{x^{2} + 2}$ , $(1, 12)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 12$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{36}{x^{2} + 2}$ の微分係数は $36 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$ です。

$36 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{x^{2} + 2}$ を ${(x^{2} + 2)}^{- 1}$ に書き換えます。

$36 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- 1}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 2$ とします。

$36 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

ステップ 1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$36 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 2$ で置き換えます。

$36 (- {(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ に $36$ をかけます。

$- 36 ({(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 1.3.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + 0)$

ステップ 1.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x)$

ステップ 1.3.5.2

$2$ に $- 36$ をかけます。

$- 72 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 72 \frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

ステップ 1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.4.2.1

$- 72$ と $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 72}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

ステップ 1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{72}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

ステップ 1.4.2.3

$x$ と $\frac{72}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot 72}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.2.4

$72$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{72 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 1.5

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$- \frac{72 (1)}{{({(1)}^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

$72$ に $1$ をかけます。

$- \frac{72}{{(1^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 1.6.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.6.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{72}{{(1 + 2)}^{2}}$

ステップ 1.6.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{72}{3^{2}}$

ステップ 1.6.2.3

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{72}{9}$

ステップ 1.6.3

式を簡約します。

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ステップ 1.6.3.1

$72$ を $9$ で割ります。

$- 1 \cdot 8$

ステップ 1.6.3.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 8$ と与えられた点 $(1, 12)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (12) = - 8 \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 12 = - 8 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- 8 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 12 = 0 + 0 - 8 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 12 = - 8 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 12 = - 8 x - 8 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$y - 12 = - 8 x + 8$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $12$ を足します。

$y = - 8 x + 8 + 12$

ステップ 2.3.2.2

$8$ と $12$ をたし算します。

$y = - 8 x + 20$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例