微分積分例

$y = \frac{3 x}{x - 2}$ , $(4, 6)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = 6$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 x}{x - 2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$3 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \frac{(x - 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$x - 2$ に $1$ をかけます。

$3 \frac{x - 2 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$3 \frac{x - 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \frac{x - 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$3 \frac{x - 2 - x (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.6

項を簡約します。

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ステップ 1.3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$3 \frac{x - 2 - x \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 \frac{x - 2 - x}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$3 \frac{0 - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.4

式を簡約します。

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ステップ 1.3.6.4.1

$0$ から $2$ を引きます。

$3 \frac{- 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$3 (- \frac{2}{{(x - 2)}^{2}})$

ステップ 1.3.6.4.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 \frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.5

$- 3$ と $\frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 3 \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.6

式を簡約します。

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ステップ 1.3.6.6.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 6}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.4

$x = 4$ で微分係数を求めます。

$- \frac{6}{{((4) - 2)}^{2}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$4$ から $2$ を引きます。

$- \frac{6}{2^{2}}$

ステップ 1.5.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{6}{4}$

ステップ 1.5.2

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$- \frac{2 (3)}{4}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{3}{2}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{3}{2}$ と与えられた点 $(4, 6)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (6) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (4))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 6 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 6 = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.1.2

項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y - 6 = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.2.2

$x$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.3.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.2.3.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2))$

ステップ 2.3.1.2.3.3

共通因数を約分します。

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

ステップ 2.3.1.2.3.4

式を書き換えます。

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.2.4

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + 6$

ステップ 2.3.1.3

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$y - 6 = - \frac{3 x}{2} + 6$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y = - \frac{3 x}{2} + 6 + 6$

ステップ 2.3.2.2

$6$ と $6$ をたし算します。

$y = - \frac{3 x}{2} + 12$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{3}{2} x) + 12$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{3}{2} x + 12$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例