微分積分例

$y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$ , $(1, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = 2 x + 1$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 2) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 2) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.2

$2$ を $x + 2$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x + 2) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.2.7

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.2.9

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.2.10

式を簡約します。

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ステップ 1.2.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.2.10.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x + 4 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.2

$2 x + 4 - 2 x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.3.3.2.1

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{0 + 4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.2.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$\frac{4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.3

$4$ から $1$ を引きます。

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$\frac{3}{{((1) + 2)}^{2}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3}{3^{2}}$

ステップ 1.5.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{3}{9}$

ステップ 1.5.2

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (1)}{9}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

ステップ 1.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

ステップ 1.5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{1}{3}$ と与えられた点 $(1, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = \frac{1}{3} \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{3} \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{1}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y - 1 = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + 1$

ステップ 2.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

ステップ 2.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1 + 3}{3}$

ステップ 2.3.2.4

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例