微分積分例

$y = {(1 + 5 x)}^{15}$ , $(0, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{15}$ および $g (x) = 1 + 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + 5 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{15}] \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

ステップ 1.1.2

$n = 15$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 u^{14} \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $1 + 5 x$ で置き換えます。

$15 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $1 + 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$ です。

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (0 + \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [5 x]$ をたし算します。

$15 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 1.2.4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.5

$5$ に $15$ をかけます。

$75 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$75 {(1 + 5 x)}^{14} \cdot 1$

ステップ 1.2.7

$75$ に $1$ をかけます。

$75 {(1 + 5 x)}^{14}$

ステップ 1.3

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$75 {(1 + 5 (0))}^{14}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$5$ に $0$ をかけます。

$75 {(1 + 0)}^{14}$

ステップ 1.4.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$75 \cdot 1^{14}$

ステップ 1.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$75 \cdot 1$

ステップ 1.4.4

$75$ に $1$ をかけます。

$75$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $75$ と与えられた点 $(0, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = 75 \cdot (x - (0))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = 75 \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y - 1 = 75 x$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = 75 x + 1$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例