微分積分例

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ , $(1, 0)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{2} - 1$ および $g (x) = x^{2} + x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.2

$2$ を $x^{2} + x + 1$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

総和則では、 $x^{2} + x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.9

$2 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- x^{2} + 1) (2 x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.6.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.6.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.6.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.6.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.6.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.6.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.6.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.6.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.6.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.6.5

$2 x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.1.6.6

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.2

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.3.4.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 0 - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.2.2

$2 x^{2} + 2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.3

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 2 x + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.4

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.4

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

括弧を削除します。

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

ステップ 1.5.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 + 4 (1) + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

ステップ 1.5.2.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 4 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

ステップ 1.5.2.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{5 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

ステップ 1.5.2.4

$5$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

ステップ 1.5.3

分母を簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{6}{{(1 + 1 + 1)}^{2}}$

ステップ 1.5.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6}{{(2 + 1)}^{2}}$

ステップ 1.5.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6}{3^{2}}$

ステップ 1.5.3.4

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{6}{9}$

ステップ 1.5.4

$6$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 (2)}{9}$

ステップ 1.5.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

ステップ 1.5.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

ステップ 1.5.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{3}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{2}{3}$ と与えられた点 $(1, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = \frac{2}{3} \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.2

$\frac{2}{3} \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 1$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{2}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1$

ステップ 2.3.2.3

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.3.2.3.1

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3}$

ステップ 2.3.2.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.3.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例