微分積分例

$48 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 625 x y^{2}$ , $(3, 4)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 3$ と $y = 4$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (48 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (625 x y^{2})$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $48 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ の微分係数は $48 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ です。

$48 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2} + y^{2}$ とします。

$48 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$48 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 1.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2} + y^{2}$ で置き換えます。

$48 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 1.2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$2$ に $48$ をかけます。

$96 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 1.2.3.2

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$96 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 1.2.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 1.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.2.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

ステップ 1.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

分配則を当てはめます。

$(96 x^{2} + 96 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

ステップ 1.2.6.2

$(96 x^{2} + 96 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ の因数を並べ替えます。

$(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2})$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$625$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $625 x y^{2}$ の微分係数は $625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ です。

$625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$625 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$625 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$625 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$625 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$625 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$625 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$625 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

ステップ 1.3.7

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$625 (2 x y y' + y^{2})$

ステップ 1.3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1

分配則を当てはめます。

$625 (2 x y y') + 625 y^{2}$

ステップ 1.3.8.2

$2$ に $625$ をかけます。

$1250 x y y' + 625 y^{2}$

ステップ 1.3.8.3

項を並べ替えます。

$625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.2

0を加えて簡約します。

$(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.3.1

分配則を当てはめます。

$2 x (96 x^{2} + 96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.3.2

分配則を当てはめます。

$2 x (96 x^{2}) + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.3.3

分配則を当てはめます。

$2 x (96 x^{2}) + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot 96 x \cdot x^{2} + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 \cdot 96 (x^{2} x) + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \cdot 96 (x^{2} x^{1}) + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \cdot 96 x^{2 + 1} + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 \cdot 96 x^{3} + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.3

$2$ に $96$ をかけます。

$192 x^{3} + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$192 x^{3} + 2 \cdot 96 x y^{2} + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.5

$2$ に $96$ をかけます。

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.6

$96$ に $2$ をかけます。

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.7

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.7.1

$y^{2}$ を移動させます。

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 96 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.7.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.7.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 96 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 96 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.7.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 96 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.1.4.8

$96$ に $2$ をかけます。

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

ステップ 1.5.2

方程式の両辺から $1250 x y y'$ を引きます。

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2}$

ステップ 1.5.3

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

方程式の両辺から $192 x^{3}$ を引きます。

$192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 192 x^{3}$

ステップ 1.5.3.2

方程式の両辺から $192 x y^{2}$ を引きます。

$192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

ステップ 1.5.4

$2 y y'$ を $192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' - 1250 x y y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$2 y y'$ を $192 y y' x^{2}$ で因数分解します。

$2 y y' (96 x^{2}) + 192 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

ステップ 1.5.4.2

$2 y y'$ を $192 y^{3} y'$ で因数分解します。

$2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

ステップ 1.5.4.3

$2 y y'$ を $- 1250 x y y'$ で因数分解します。

$2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) + 2 y y' (- 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

ステップ 1.5.4.4

$2 y y'$ を $2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2})$ で因数分解します。

$2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2}) + 2 y y' (- 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

ステップ 1.5.4.5

$2 y y'$ を $2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2}) + 2 y y' (- 625 x)$ で因数分解します。

$2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

ステップ 1.5.5

$2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$ の各項を $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

$2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$ の各項を $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ で割ります。

$\frac{2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 1.5.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 1.5.5.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x} = \frac{625 y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.2.3

$96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.3.1

共通因数を約分します。

ステップ 1.5.5.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{625 y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.1

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.1.1

$y$ を $625 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (625 y)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.1.2.1

$y$ を $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.2

$- 192$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.2.1

$2$ を $- 192 x^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x^{3})}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.2.2.1

$2$ を $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x^{3})}{2 (y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x^{3})}{2 (y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.4

$- 192$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.4.1

$2$ を $- 192 x y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x y^{2})}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.4.2.1

$2$ を $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x y^{2})}{2 (y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))}$

ステップ 1.5.5.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x y^{2})}{2 (y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))}$

ステップ 1.5.5.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 96 x y^{2}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.5

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.5.1

$y$ を $- 96 x y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (- 96 x y)}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1.5.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (- 96 x y)}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.1.5.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x}$

ステップ 1.5.5.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x}$

ステップ 1.5.5.3.2

$- \frac{96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 1.5.5.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.3.1

$\frac{96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x y \cdot 2}{(96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2}$

ステップ 1.5.5.3.3.2

$(96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x y \cdot 2}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y - 96 x y \cdot 2}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.5.1

$y$ を $625 y - 96 x y \cdot 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.5.1.1

$y$ を $625 y$ で因数分解します。

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y \cdot 625 - 96 x y \cdot 2}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.5.1.2

$y$ を $- 96 x y \cdot 2$ で因数分解します。

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y \cdot 625 + y (- 96 x \cdot 2)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.5.1.3

$y$ を $y \cdot 625 + y (- 96 x \cdot 2)$ で因数分解します。

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 96 x \cdot 2)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.5.2

$2$ に $- 96$ をかけます。

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.6

$- \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.7

$\frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{y}{y}$

ステップ 1.5.5.3.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.8.1

$\frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y' = - \frac{96 x^{3} \cdot 2}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2} + \frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{y}{y}$

ステップ 1.5.5.3.8.2

$\frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$y' = - \frac{96 x^{3} \cdot 2}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2} + \frac{y (625 - 192 x) y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) y}$

ステップ 1.5.5.3.8.3

$y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$y' = - \frac{96 x^{3} \cdot 2}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 192 x) y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) y}$

ステップ 1.5.5.3.8.4

$2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) y$ の因数を並べ替えます。

$y' = - \frac{96 x^{3} \cdot 2}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 192 x) y}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.9

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 96 x^{3} \cdot 2 + y (625 - 192 x) y}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.10.1

$2$ に $- 96$ をかけます。

$y' = \frac{- 192 x^{3} + y (625 - 192 x) y}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.10.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.10.2.1

$y$ を移動させます。

$y' = \frac{- 192 x^{3} + y \cdot y (625 - 192 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.10.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$y' = \frac{- 192 x^{3} + y^{2} (625 - 192 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.10.3

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{- 192 x^{3} + y^{2} \cdot 625 + y^{2} (- 192 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.10.4

$625$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$y' = \frac{- 192 x^{3} + 625 \cdot y^{2} + y^{2} (- 192 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.10.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = \frac{- 192 x^{3} + 625 y^{2} - 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.11

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.11.1

$- 1$ を $- 192 x^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (192 x^{3}) + 625 y^{2} - 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.11.2

$- 1$ を $625 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (192 x^{3}) - (- 625 y^{2}) - 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.11.3

$- 1$ を $- (192 x^{3}) - (- 625 y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (192 x^{3} - 625 y^{2}) - 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.11.4

$- 1$ を $- 192 y^{2} x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (192 x^{3} - 625 y^{2}) - (192 y^{2} x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.11.5

$- 1$ を $- (192 x^{3} - 625 y^{2}) - (192 y^{2} x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.11.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.11.6.1

$- (192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x)$ を $- 1 (192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.5.5.3.11.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

ステップ 1.7

$y = 4$ と $x = 3$ における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$- \frac{192 {(3)}^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} (3)}{2 y (96 {(3)}^{2} + 96 y^{2} - 625 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $4$ で置換えます。

$- \frac{192 {(3)}^{3} - 625 {(4)}^{2} + 192 {(4)}^{2} (3)}{2 (4) (96 {(3)}^{2} + 96 {(4)}^{2} - 625 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

$3$ を $3$ 乗します。

$- \frac{192 \cdot 27 - 625 \cdot 4^{2} + 192 \cdot 4^{2} \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.3.2

$192$ に $27$ をかけます。

$- \frac{5184 - 625 \cdot 4^{2} + 192 \cdot 4^{2} \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.3.3

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{5184 - 625 \cdot 16 + 192 \cdot 4^{2} \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.3.4

$- 625$ に $16$ をかけます。

$- \frac{5184 - 10000 + 192 \cdot 4^{2} \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.3.5

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{5184 - 10000 + 192 \cdot 16 \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.3.6

$192 \cdot 16 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.6.1

$192$ に $16$ をかけます。

$- \frac{5184 - 10000 + 3072 \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.3.6.2

$3072$ に $3$ をかけます。

$- \frac{5184 - 10000 + 9216}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.3.7

$5184$ から $10000$ を引きます。

$- \frac{- 4816 + 9216}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.3.8

$- 4816$ と $9216$ をたし算します。

$- \frac{4400}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.4

$2$ に $4$ をかけます。

$- \frac{4400}{8 (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.5.1

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{4400}{8 (96 \cdot 9 + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.5.2

$96$ に $9$ をかけます。

$- \frac{4400}{8 (864 + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.5.3

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{4400}{8 (864 + 96 \cdot 16 - 625 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.5.4

$96$ に $16$ をかけます。

$- \frac{4400}{8 (864 + 1536 - 625 \cdot 3)}$

ステップ 1.7.5.5

$- 625$ に $3$ をかけます。

$- \frac{4400}{8 (864 + 1536 - 1875)}$

ステップ 1.7.5.6

$864$ と $1536$ をたし算します。

$- \frac{4400}{8 (2400 - 1875)}$

ステップ 1.7.5.7

$2400$ から $1875$ を引きます。

$- \frac{4400}{8 \cdot 525}$

ステップ 1.7.6

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.6.1

$8$ に $525$ をかけます。

$- \frac{4400}{4200}$

ステップ 1.7.6.2

$4400$ と $4200$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.6.2.1

$200$ を $4400$ で因数分解します。

$- \frac{200 (22)}{4200}$

ステップ 1.7.6.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.6.2.2.1

$200$ を $4200$ で因数分解します。

$- \frac{200 \cdot 22}{200 \cdot 21}$

ステップ 1.7.6.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{200 \cdot 22}{200 \cdot 21}$

ステップ 1.7.6.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{22}{21}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

傾き $- \frac{22}{21}$ と与えられた点 $(3, 4)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (4) = - \frac{22}{21} \cdot (x - (3))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 4 = - \frac{22}{21} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- \frac{22}{21} \cdot (x - 3)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 4 = 0 + 0 - \frac{22}{21} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y - 4 = - \frac{22}{21} x - \frac{22}{21} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.2.2

$x$ と $\frac{22}{21}$ をまとめます。

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} - \frac{22}{21} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.3.1

$- \frac{22}{21}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22}{21} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.2.3.2

$3$ を $21$ で因数分解します。

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22}{3 (7)} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.2.3.3

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22}{3 \cdot 7} \cdot (3 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.2.3.4

共通因数を約分します。

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22}{3 \cdot 7} \cdot (3 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.2.3.5

式を書き換えます。

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22}{7} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.2.4

$\frac{- 22}{7}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22 \cdot - 1}{7}$

ステップ 2.3.1.2.5

$- 22$ に $- 1$ をかけます。

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{22}{7}$

ステップ 2.3.1.3

$22$ を $x$ の左に移動させます。

$y - 4 = - \frac{22 x}{21} + \frac{22}{7}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{22}{7} + 4$

ステップ 2.3.2.2

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{22}{7} + 4 \cdot \frac{7}{7}$

ステップ 2.3.2.3

$4$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{22}{7} + \frac{4 \cdot 7}{7}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{22 + 4 \cdot 7}{7}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.5.1

$4$ に $7$ をかけます。

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{22 + 28}{7}$

ステップ 2.3.2.5.2

$22$ と $28$ をたし算します。

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{50}{7}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{22}{21} x) + \frac{50}{7}$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{22}{21} x + \frac{50}{7}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例