微分積分例

$4 x y^{3} + 5 x y = 36$ , $(4, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (4 x y^{3} + 5 x y) = \frac{d}{d x} (36)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $4 x y^{3} + 5 x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x y^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

ステップ 1.2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

ステップ 1.2.2.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

ステップ 1.2.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

ステップ 1.2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

ステップ 1.2.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

ステップ 1.2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

ステップ 1.2.2.6

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$4 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

ステップ 1.2.2.7

$y^{3}$ に $1$ をかけます。

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [5 x y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x y$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 1.2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 1.2.3.5

$y$ に $1$ をかけます。

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y)$

ステップ 1.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

分配則を当てはめます。

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y' + y)$

ステップ 1.2.4.2

分配則を当てはめます。

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y') + 5 y$

ステップ 1.2.4.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x y^{2} y' + 4 y^{3} + 5 x y' + 5 y$

ステップ 1.2.4.4

項を並べ替えます。

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y$

ステップ 1.3

$36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = 0$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

方程式の両辺から $4 y^{3}$ を引きます。

$12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = - 4 y^{3}$

ステップ 1.5.1.2

方程式の両辺から $5 y$ を引きます。

$12 y^{2} x y' + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

ステップ 1.5.2

$x y'$ を $12 y^{2} x y' + 5 x y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$x y'$ を $12 y^{2} x y'$ で因数分解します。

$x y' (12 y^{2}) + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

ステップ 1.5.2.2

$x y'$ を $5 x y'$ で因数分解します。

$x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5 = - 4 y^{3} - 5 y$

ステップ 1.5.2.3

$x y'$ を $x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5$ で因数分解します。

$x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$

ステップ 1.5.3

$x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ の各項を $x (12 y^{2} + 5)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ の各項を $x (12 y^{2} + 5)$ で割ります。

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

ステップ 1.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

ステップ 1.5.3.2.2

$12 y^{2} + 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

ステップ 1.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

ステップ 1.5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

ステップ 1.7

$y = 1$ と $x = 4$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$- \frac{4 y^{3}}{(4) (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{(4) (12 y^{2} + 5)}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $1$ で置換えます。

$- \frac{4 {(1)}^{3}}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)} - \frac{5 (1)}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)}$

ステップ 1.7.3

項を簡約します。

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ステップ 1.7.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 4 {(1)}^{3} - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

ステップ 1.7.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{- 4 \cdot 1 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

ステップ 1.7.3.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 4 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

ステップ 1.7.3.2.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 4 - 5}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

ステップ 1.7.3.3

$- 4$ から $5$ を引きます。

$\frac{- 9}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

ステップ 1.7.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{- 9}{4 (12 \cdot 1 + 5)}$

ステップ 1.7.4.2

$12$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 9}{4 (12 + 5)}$

ステップ 1.7.4.3

$12$ と $5$ をたし算します。

$\frac{- 9}{4 \cdot 17}$

ステップ 1.7.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.5.1

$4$ に $17$ をかけます。

$\frac{- 9}{68}$

ステップ 1.7.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{9}{68}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{9}{68}$ と与えられた点 $(4, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - \frac{9}{68} \cdot (x - (4))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - \frac{9}{68} x - \frac{9}{68} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.2.2

$x$ と $\frac{9}{68}$ をまとめます。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} - \frac{9}{68} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.2.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.3.1

$- \frac{9}{68}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{68} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.2.3.2

$4$ を $68$ で因数分解します。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 (17)} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.2.3.3

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.2.3.4

共通因数を約分します。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.2.3.5

式を書き換えます。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{17} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.2.4

$\frac{- 9}{17}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9 \cdot - 1}{17}$

ステップ 2.3.1.2.5

$- 9$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{9}{17}$

ステップ 2.3.1.3

$9$ を $x$ の左に移動させます。

$y - 1 = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + 1$

ステップ 2.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + \frac{17}{17}$

ステップ 2.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9 + 17}{17}$

ステップ 2.3.2.4

$9$ と $17$ をたし算します。

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{26}{17}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{9}{68} x) + \frac{26}{17}$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{9}{68} x + \frac{26}{17}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例