微分積分例

$x e^{y} + y e^{x} = 1$ , $(0, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x e^{y} + y e^{x}) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x e^{y} + y e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

ステップ 1.2.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

ステップ 1.2.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

ステップ 1.2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

ステップ 1.2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

ステップ 1.2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

ステップ 1.2.2.5

$e^{y}$ に $1$ をかけます。

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [y e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$f (x) = y$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x e^{y} y' + e^{y} + y \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} y'$

ステップ 1.2.4

簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

項を並べ替えます。

$e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$

ステップ 1.2.4.2

$e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$ の因数を並べ替えます。

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$

ステップ 1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y} = 0$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$ の因数を並べ替えます。

$x y' e^{y} + y e^{x} + y' e^{x} + e^{y} = 0$

ステップ 1.5.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.5.2.1

方程式の両辺から $y e^{x}$ を引きます。

$x y' e^{y} + y' e^{x} + e^{y} = - y e^{x}$

ステップ 1.5.2.2

方程式の両辺から $e^{y}$ を引きます。

$x y' e^{y} + y' e^{x} = - y e^{x} - e^{y}$

ステップ 1.5.3

$y'$ を $x y' e^{y} + y' e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.3.1

$y'$ を $x y' e^{y}$ で因数分解します。

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

ステップ 1.5.3.2

$y'$ を $y' e^{x}$ で因数分解します。

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

ステップ 1.5.3.3

$y'$ を $y' (x e^{y}) + y' (e^{x})$ で因数分解します。

$y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

ステップ 1.5.4

$y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ の各項を $x e^{y} + e^{x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.4.1

$y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ の各項を $x e^{y} + e^{x}$ で割ります。

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

ステップ 1.5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1

$x e^{y} + e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

ステップ 1.5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

ステップ 1.5.4.3.2

$- 1$ を $- y e^{x}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y e^{x}) - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

ステップ 1.5.4.3.3

$- 1$ を $- e^{y}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y e^{x}) - (e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

ステップ 1.5.4.3.4

$- 1$ を $- (y e^{x}) - (e^{y})$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

ステップ 1.5.4.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.5.4.3.5.1

$- (y e^{x} + e^{y})$ を $- 1 (y e^{x} + e^{y})$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

ステップ 1.5.4.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

ステップ 1.7

$y = 1$ と $x = 0$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$- \frac{y e^{0} + e^{y}}{(0) \cdot e^{y} + e^{0}}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $1$ で置換えます。

$- \frac{(1) \cdot e^{0} + e^{1}}{(0) \cdot e^{1} + e^{0}}$

ステップ 1.7.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.3.1

$e^{0}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{e^{0} + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

ステップ 1.7.3.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{1 + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

ステップ 1.7.3.3

簡約します。

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

ステップ 1.7.4

分母を簡約します。

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ステップ 1.7.4.1

簡約します。

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e + e^{0}}$

ステップ 1.7.4.2

$0$ に $e$ をかけます。

$- \frac{1 + e}{0 + e^{0}}$

ステップ 1.7.4.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{1 + e}{0 + 1}$

ステップ 1.7.4.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1 + e}{1}$

ステップ 1.7.5

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 1.7.5.1

$1 + e$ を $1$ で割ります。

$- (1 + e)$

ステップ 1.7.5.2

分配則を当てはめます。

$- 1 \cdot 1 - e$

ステップ 1.7.5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 - e$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 1 - e$ と与えられた点 $(0, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = (- 1 - e) \cdot (x - (0))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$(- 1 - e) \cdot (x + 0)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot x$

ステップ 2.3.1.2

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - 1 x - e x$

ステップ 2.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y - 1 = - x - e x$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - x - e x + 1$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

$e$ を移動させます。

$y = - x - 1 x e + 1$

ステップ 2.3.3.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y = - x - x e + 1$

ステップ 2.3.3.3

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$y = x \cdot - 1 - x e + 1$

ステップ 2.3.3.4

$x$ を $- x e$ で因数分解します。

$y = x \cdot - 1 + x (- e) + 1$

ステップ 2.3.3.5

$x$ を $x \cdot - 1 + x (- e)$ で因数分解します。

$y = x \cdot (- 1 - e) + 1$

ステップ 2.3.3.6

$- 1 - e$ に $x$ をかけます。

$y = (- 1 - e) x + 1$

ステップ 3

微分積分 例

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