微分積分例

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 8$ , $(4, 0)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y) = \frac{d}{d x} (8)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.2.1

微分します。

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ステップ 1.2.1.1

総和則では、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 1.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 1.2.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 1.2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 1.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 2 y y' - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 2 y y' - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 1.2.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 x + 2 y y' - 2 + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 1.2.4

$\frac{d}{d x} [4 y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 y$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$2 x + 2 y y' - 2 + 4 \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + 2 y y' - 2 + 4 y'$

ステップ 1.2.5

項を並べ替えます。

$2 y y' + 2 x + 4 y' - 2$

ステップ 1.3

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' + 2 x + 4 y' - 2 = 0$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.5.1.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$2 y y' + 4 y' - 2 = - 2 x$

ステップ 1.5.1.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$2 y y' + 4 y' = - 2 x + 2$

ステップ 1.5.2

$2 y'$ を $2 y y' + 4 y'$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.2.1

$2 y'$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$2 y' y + 4 y' = - 2 x + 2$

ステップ 1.5.2.2

$2 y'$ を $4 y'$ で因数分解します。

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 2 x + 2$

ステップ 1.5.2.3

$2 y'$ を $2 y' y + 2 y' \cdot 2$ で因数分解します。

$2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$

ステップ 1.5.3

$2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$ の各項を $2 (y + 2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$ の各項を $2 (y + 2)$ で割ります。

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

ステップ 1.5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

ステップ 1.5.3.2.2

$y + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

ステップ 1.5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.3.3.1.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.3.1.1.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

ステップ 1.5.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

ステップ 1.5.3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

ステップ 1.5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

ステップ 1.5.3.3.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

ステップ 1.5.3.3.1.3.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{1}{y + 2}$

ステップ 1.5.3.3.2

項を簡約します。

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ステップ 1.5.3.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- x + 1}{y + 2}$

ステップ 1.5.3.3.2.2

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (x) + 1}{y + 2}$

ステップ 1.5.3.3.2.3

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- (x) - 1 (- 1)}{y + 2}$

ステップ 1.5.3.3.2.4

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (x - 1)}{y + 2}$

ステップ 1.5.3.3.2.5

式を簡約します。

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ステップ 1.5.3.3.2.5.1

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (x - 1)}{y + 2}$

ステップ 1.5.3.3.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x - 1}{y + 2}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x - 1}{y + 2}$

ステップ 1.7

$y = 0$ と $x = 4$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$- \frac{(4) - 1}{y + 2}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $0$ で置換えます。

$- \frac{(4) - 1}{(0) + 2}$

ステップ 1.7.3

$4$ から $1$ を引きます。

$- \frac{3}{0 + 2}$

ステップ 1.7.4

$0$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{3}{2}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{3}{2}$ と与えられた点 $(4, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (4))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.2

$- \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

項を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 4$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 4$

ステップ 2.3.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.3.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 4$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2))$

ステップ 2.3.2.1.3.3

共通因数を約分します。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

ステップ 2.3.2.1.3.4

式を書き換えます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 2$

ステップ 2.3.2.1.4

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 6$

ステップ 2.3.2.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{3 x}{2} + 6$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{3}{2} x) + 6$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{3}{2} x + 6$

ステップ 3

微分積分 例

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