微分積分例

$\sin (y) = 5 x^{4} - 5$ , $(1, π)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = π$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\sin (y)) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - 5)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\cos (y) y'$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $5 x^{4} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.3.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.3.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.3.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.3.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.1

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$20 x^{3} + 0$

ステップ 1.3.3.2

$20 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$20 x^{3}$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$

ステップ 1.5

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$ の各項を $\cos (y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$ の各項を $\cos (y)$ で割ります。

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

ステップ 1.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$\cos (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

ステップ 1.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

ステップ 1.7

$y = π$ と $x = 1$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (y)}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $π$ で置換えます。

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (π)}$

ステップ 1.7.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{20 \cdot 1}{\cos (π)}$

ステップ 1.7.4

分母を簡約します。

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ステップ 1.7.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{20 \cdot 1}{- \cos (0)}$

ステップ 1.7.4.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{20 \cdot 1}{- 1 \cdot 1}$

ステップ 1.7.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{20 \cdot 1}{- 1}$

ステップ 1.7.5

式を簡約します。

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ステップ 1.7.5.1

$20$ に $1$ をかけます。

$\frac{20}{- 1}$

ステップ 1.7.5.2

$20$ を $- 1$ で割ります。

$- 20$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 20$ と与えられた点 $(1, π)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (π) = - 20 \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- 20 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - π = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - π = - 20 x - 20 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$- 20$ に $- 1$ をかけます。

$y - π = - 20 x + 20$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $π$ を足します。

$y = - 20 x + 20 + π$

ステップ 3

微分積分 例

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