微分積分例

$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$ , $(1, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

左辺を有理指数で書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$

ステップ 1.1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{y^{4}}$ を $y^{\frac{4}{3}}$ に書き換えます。

$x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 2$

ステップ 1.2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 1.3

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 1.3.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.2.1

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 1.3.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 1.3.2.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 1.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 1.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.2.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 1.3.2.5.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 1.3.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.3.3.1.2

$n = \frac{4}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

ステップ 1.3.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

ステップ 1.3.3.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

ステップ 1.3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

ステップ 1.3.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

ステップ 1.3.3.6.2

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

ステップ 1.3.3.7

$\frac{4}{3}$ と $y^{\frac{1}{3}}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

ステップ 1.3.3.8

$\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

ステップ 1.3.4

簡約します。

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ステップ 1.3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

ステップ 1.3.4.2

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

ステップ 1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

ステップ 1.6

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.6.1

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

ステップ 1.6.2

方程式の両辺から $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ を引きます。

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.6.3

方程式の両辺に $\frac{3}{4}$ を掛けます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 1.6.4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 1.6.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.1.1

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ を簡約します。

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ステップ 1.6.4.1.1.1

まとめる。

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 1.6.4.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 1.6.4.1.1.3

式を書き換えます。

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 1.6.4.1.1.4

共通因数を約分します。

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 1.6.4.1.1.5

$y' y^{\frac{1}{3}}$ を $1$ で割ります。

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 1.6.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.6.4.2.1

$\frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ を簡約します。

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ステップ 1.6.4.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.4.2.1.1.1

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.6.4.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.6.4.2.1.1.3

式を書き換えます。

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.6.4.2.1.2

$\frac{1}{4}$ に $\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{- 1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.6.4.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.6.5

$y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ の各項を $y^{\frac{1}{3}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.6.5.1

$y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ の各項を $y^{\frac{1}{3}}$ で割ります。

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.6.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.6.5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.6.5.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.6.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.6.5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.6.5.3.2

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ に $\frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$y' = - \frac{1}{y^{\frac{1}{3}} (4 x^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 1.6.5.3.3

$4$ を $y^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$y' = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.8

$y = 1$ と $x = 1$ における値を求めます。

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ステップ 1.8.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$- \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.8.2

式の変数 $y$ を $1$ で置換えます。

$- \frac{1}{4 {(1)}^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.8.3

指数を足して ${(1)}^{\frac{1}{3}}$ に ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 1.8.3.1

${(1)}^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$- \frac{1}{4 ({(1)}^{\frac{2}{3}} {(1)}^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 1.8.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

ステップ 1.8.3.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2 + 1}{3}}}$

ステップ 1.8.3.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 1.8.3.5

$3$ を $3$ で割ります。

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{1}}$

ステップ 1.8.4

$4 \cdot 1^{1}$ を簡約します。

$- \frac{1}{4}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{1}{4}$ と与えられた点 $(1, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$x$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y - 1 = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.5

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = - \frac{x}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

ステップ 2.3.1.5.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$y - 1 = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + 1$

ステップ 2.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

ステップ 2.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1 + 4}{4}$

ステップ 2.3.2.4

$1$ と $4$ をたし算します。

$y = - \frac{x}{4} + \frac{5}{4}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{5}{4}$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例