微分積分例

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) - \cos (3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

ステップ 1

$x$ が $\frac{π}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

ステップ 2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

ステップ 3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} 3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

ステップ 4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \cos (3 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

ステップ 5

すべての $x$ に $\frac{π}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (3 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

ステップ 5.2

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (3 \frac{π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0 - \cos (3 \frac{π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

ステップ 6.1.2

$3$ と $\frac{π}{2}$ をまとめます。

$\frac{0 - \cos (\frac{3 π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

ステップ 6.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{0 - \cos (\frac{π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

ステップ 6.1.4

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0 - 0}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

ステップ 6.1.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

ステップ 6.1.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

ステップ 6.2

$0$ を $(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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