微分積分例

$lim_{n \to 8} {(\frac{n - 3}{n})}^{n}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${(\frac{n - 3}{n})}^{n}$ を $e^{\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})}$ に書き換えます。

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})}$

ステップ 1.2

$n$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})$ を展開します。

$lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n - 3}{n})}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n - 3}{n})}$

ステップ 2.2

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n - 3}{n})}$

ステップ 2.3

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n - 3}{n})}$

ステップ 2.4

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 3}{lim_{n \to 8} n})}$

ステップ 2.5

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 3}{lim_{n \to 8} n})}$

ステップ 2.6

$n$ が $8$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

ステップ 3

すべての $n$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

ステップ 3.2

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

ステップ 3.3

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

対数の中の $8$ を移動させて $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})$ を簡約します。

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}^{8})}$

ステップ 4.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

${(\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}^{8}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

${(\frac{8 - 3}{8})}^{8}$

ステップ 4.3.2

$8$ から $3$ を引きます。

${(\frac{5}{8})}^{8}$

ステップ 4.4

積の法則を $\frac{5}{8}$ に当てはめます。

$\frac{5^{8}}{8^{8}}$

ステップ 4.5

$5$ を $8$ 乗します。

$\frac{390625}{8^{8}}$

ステップ 4.6

$8$ を $8$ 乗します。

$\frac{390625}{16777216}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{390625}{16777216}$

10進法形式：

$0.02328306 \dots$

微分積分 例

微分積分例