微分積分例

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 1

$x$ が $\frac{π}{3}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\cos^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 5

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 6

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 7

$x$ が $\frac{π}{3}$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 8

すべての $x$ に $\frac{π}{3}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ を $\frac{π}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 8.2

$x$ を $\frac{π}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

群による因数分解。

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ステップ 9.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ で和が $b = 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 9.1.1.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.1.1.1.2

$3$ を $3 \cos (\frac{π}{3})$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 (\cos (\frac{π}{3})) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.1.1.1.3

$3$ を $- 1$ プラス $4$ に書き換える

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + (- 1 + 4) \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.1.1.1.4

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 1 \cos (\frac{π}{3}) + 4 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 9.1.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 1 \cos (\frac{π}{3})) + 4 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{\cos (\frac{π}{3}) (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) + 2 (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1)}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.1.1.3

最大公約数 $2 \cos (\frac{π}{3}) - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.1.2

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{(1 - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.1.4

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{0 (\frac{1}{2} + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.1.6

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{0 (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.1.7

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{0 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.1.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{0 \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.1.9

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.9.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{0 \frac{1 + 4}{2}}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.1.9.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{0 (\frac{5}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.2

$0$ に $\frac{5}{2}$ をかけます。

$\frac{0}{2 \cos (x) - 1}$

ステップ 9.3

$0$ を $2 \cos (x) - 1$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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