微分積分例

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}{1 - e^{2 x}}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{1 - e^{2 x}}$

ステップ 1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{1 - e^{2 x}}$

ステップ 1.3

指数に極限を移動させます。

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 0} x}}{1 - e^{2 x}}$

ステップ 2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - e^{0}}{1 - e^{2 x}}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{1 - e^{2 x}}$

ステップ 3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{1 - e^{2 x}}$

ステップ 3.1.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{1 - e^{2 x}}$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0}{1^{2} - e^{2 x}}$

ステップ 3.2.2

$e^{2 x}$ を ${(e^{x})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0}{1^{2} - {(e^{x})}^{2}}$

ステップ 3.2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = e^{x}$ です。

$\frac{0}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

ステップ 3.3

$0$ を $(1 + e^{x}) (1 - e^{x})$ で割ります。

$0$

微分積分 例