微分積分例

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

ステップ 1

$x$ が $0$ に近づくと定数である ${(1 + h)}^{4} - 1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

ステップ 2

答えを簡約します。

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ステップ 2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.1

${(1 + h)}^{4}$ を ${({(1 + h)}^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1}{h}$

ステップ 2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1^{2}}{h}$

ステップ 2.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = {(1 + h)}^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{({(1 + h)}^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

${(1 + h)}^{2}$ を $(1 + h) (1 + h)$ に書き換えます。

$\frac{((1 + h) (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

ステップ 2.1.4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + h) (1 + h)$ を展開します。

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ステップ 2.1.4.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(1 (1 + h) + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

ステップ 2.1.4.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

ステップ 2.1.4.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

ステップ 2.1.4.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.1.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.4.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

ステップ 2.1.4.3.1.2

$h$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

ステップ 2.1.4.3.1.3

$h$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 + h + h + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

ステップ 2.1.4.3.1.4

$h$ に $h$ をかけます。

$\frac{(1 + h + h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

ステップ 2.1.4.3.2

$h$ と $h$ をたし算します。

$\frac{(1 + 2 h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

ステップ 2.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(2 h + h^{2} + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

ステップ 2.1.4.5

項を並べ替えます。

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

ステップ 2.1.4.6

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1^{2})}{h}$

ステップ 2.1.4.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1 + h$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((1 + h + 1) (1 + h - 1))}{h}$

ステップ 2.1.4.8

簡約します。

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ステップ 2.1.4.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (1 + h - 1))}{h}$

ステップ 2.1.4.8.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (h + 0))}{h}$

ステップ 2.1.4.8.3

$h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) h)}{h}$

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

ステップ 2.2

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

ステップ 2.2.2

$(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ を $1$ で割ります。

$(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$

ステップ 2.3

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ を展開します。

$h^{2} h + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

ステップ 2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.1

指数を足して $h^{2}$ に $h$ を掛けます。

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ステップ 2.4.1.1

$h^{2}$ に $h$ をかけます。

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ステップ 2.4.1.1.1

$h$ を $1$ 乗します。

$h^{2} h^{1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

ステップ 2.4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$h^{2 + 1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

ステップ 2.4.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$h^{3} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

ステップ 2.4.2

$2$ を $h^{2}$ の左に移動させます。

$h^{3} + 2 \cdot h^{2} + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

ステップ 2.4.3

指数を足して $h$ に $h$ を掛けます。

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ステップ 2.4.3.1

$h$ を移動させます。

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 (h \cdot h) + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

ステップ 2.4.3.2

$h$ に $h$ をかけます。

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

ステップ 2.4.4

$2$ に $2$ をかけます。

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 2 \cdot 2$

ステップ 2.4.5

$2$ に $2$ をかけます。

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

ステップ 2.5

$2 h^{2}$ と $2 h^{2}$ をたし算します。

$h^{3} + 4 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

ステップ 2.6

$4 h$ と $2 h$ をたし算します。

$h^{3} + 4 h^{2} + 6 h + 4$

微分積分 例

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