微分積分例

$y = 3 x - 2 \sqrt{x}$ , $(1, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $3 x - 2 \sqrt{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$3 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$3 - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 1.3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.3.6

公分母の分子をまとめます。

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.3.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 1.3.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 1.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 1.3.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$3 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.3.10

$- 2$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$3 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$3 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.3.12

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.3.13

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.13.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 1.3.13.2

共通因数を約分します。

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.3.13.3

式を書き換えます。

$3 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.3.14

分数の前に負数を移動させます。

$3 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.4

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$3 - \frac{1}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$3 - \frac{1}{1}$

ステップ 1.5.1.2

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 - \frac{1}{1}$

ステップ 1.5.1.2.2

式を書き換えます。

$3 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.5.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 - 1$

ステップ 1.5.2

$3$ から $1$ を引きます。

$2$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $2$ と与えられた点 $(1, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = 2 \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = 2 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$2 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = 2 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = 2 x + 2 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = 2 x - 2$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = 2 x - 2 + 1$

ステップ 2.3.2.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$y = 2 x - 1$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例