微分積分例

$k \sqrt{x} - \ln (x)$

ステップ 1

$y$ について解きます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $\ln (x)$ を足します。

$y \sqrt{x} = \ln (x)$

ステップ 1.2

$y \sqrt{x} = \ln (x)$ の各項を $\sqrt{x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.1

$y \sqrt{x} = \ln (x)$ の各項を $\sqrt{x}$ で割ります。

$\frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

ステップ 1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$\sqrt{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

ステップ 1.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

ステップ 1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

ステップ 1.2.3.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

ステップ 1.2.3.2.2

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

ステップ 1.2.3.2.3

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

ステップ 1.2.3.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.2.3.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 1.2.3.2.6

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.3.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.2.3.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.2.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.3.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.3.2.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{1}}$

ステップ 1.2.3.2.6.5

簡約します。

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$

ステップ 2

$k \sqrt{x} - \ln (x) = 0$ の定義域を求めると、 $x$ 値のリストが選択され、点のリストを求めることができます。このことで、累乗根をグラフにできます。

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ステップ 2.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x > 0$

ステップ 2.2

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.3

$\frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2.4

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

ステップ 3

ラジカル式の端点を求めるために、 $x$ の値 $0$ を定義域内の最小値として $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ に代入します。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{\ln (0) \sqrt{0}}{0}$

ステップ 3.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

$f (0) = Undefined$

未定義

ステップ 4

無理式の端点は $(0, Undefined)$ です。

$(0, Undefined)$

ステップ 5

定義域からいくつかの $x$ 値を選択します。無理式の端点の $x$ 値の隣にくるように値を選択するとより便利です。

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ステップ 5.1

$x$ 値の $1$ を $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ に代入します。この場合、点は $(1, 0)$ です。

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ステップ 5.1.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{\ln (1) \sqrt{1}}{1}$

ステップ 5.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

$\ln (1) \sqrt{1}$ を $1$ で割ります。

$f (1) = \ln (1) \sqrt{1}$

ステップ 5.1.2.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f (1) = 0 \sqrt{1}$

ステップ 5.1.2.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (1) = 0 \cdot 1$

ステップ 5.1.2.4

$0$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 0$

ステップ 5.1.2.5

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 5.2

$x$ 値の $2$ を $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ に代入します。この場合、点は $(2, \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2})$ です。

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ステップ 5.2.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.2.2

最終的な答えは $\frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$ です。

$y = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.3

平方根は、頂点 $(0, Undefined), (1, 0), (2, 0.49)$ の周りの点を利用してグラフにすることができます。

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.49 \end{array}$

ステップ 6

微分積分 例

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