微分積分例

$\ln (\sqrt{x + 1})$

ステップ 1

$y = \ln (\sqrt{x + 1})$ の定義域を求めると、 $x$ 値のリストが選択され、点のリストを求めることができます。このことで、累乗根をグラフにできます。

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ステップ 1.1

$\ln (\sqrt{x + 1})$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$\sqrt{x + 1} > 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x + 1}}^{2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2

不等式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 1}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x + 1)}^{1} > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

簡約します。

$x + 1 > 0^{2}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x + 1 > 0$

ステップ 1.2.3

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$x > - 1$

ステップ 1.2.4

$\sqrt{x + 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$\sqrt{x + 1}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x + 1 \geq 0$

ステップ 1.2.4.2

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$x \geq - 1$

ステップ 1.2.4.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- 1, \infty)$

ステップ 1.2.5

解はすべての真の区間からなります。

$x > - 1$

ステップ 1.3

$\sqrt{x + 1}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x + 1 \geq 0$

ステップ 1.4

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$x \geq - 1$

ステップ 1.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- 1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > - 1}$

区間記号：

$(- 1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > - 1}$

ステップ 2

ラジカル式の端点を求めるために、 $x$ の値 $- 1$ を定義域内の最小値として $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ に代入します。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \ln (\sqrt{(- 1) + 1})$

ステップ 2.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0})$

ステップ 2.3

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

ステップ 2.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 1) = \ln (0)$

ステップ 2.5

0の自然対数は未定義です。

$f (- 1) = Undefined$

未定義

ステップ 3

無理式の端点は $(- 1, Undefined)$ です。

$(- 1, Undefined)$

ステップ 4

定義域からいくつかの $x$ 値を選択します。無理式の端点の $x$ 値の隣にくるように値を選択するとより便利です。

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ステップ 4.1

$x$ 値の $0$ を $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ に代入します。この場合、点は $(0, 0)$ です。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \ln (\sqrt{(0) + 1})$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = \ln (\sqrt{1})$

ステップ 4.1.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (0) = \ln (1)$

ステップ 4.1.2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 4.2

$x$ 値の $1$ を $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ に代入します。この場合、点は $(1, \ln (\sqrt{2}))$ です。

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ステップ 4.2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \ln (\sqrt{(1) + 1})$

ステップ 4.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = \ln (\sqrt{2})$

ステップ 4.2.2.2

最終的な答えは $\ln (\sqrt{2})$ です。

$y = \ln (\sqrt{2})$

ステップ 4.3

平方根は、頂点 $(- 1, Undefined), (0, 0), (1, 0.35)$ の周りの点を利用してグラフにすることができます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & Undefined \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.35 \end{array}$

ステップ 5

微分積分 例

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