微分積分例

$\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$

ステップ 1

漸近線を求めます。

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ステップ 1.1

式 $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ が未定義である場所を求めます。

$x \leq - \frac{5}{7}$

ステップ 1.2

$\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ 、 $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $- \infty$ を右から $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ としているので、 $x = - \frac{5}{7}$ は垂直漸近線です。

$x = - \frac{5}{7}$

ステップ 1.3

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 1.3.1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 5)}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

ステップ 1.3.1.1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

ステップ 1.3.1.1.3

指数 $7 x + 5$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{7 x + 5}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.3.1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.3.1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

ステップ 1.3.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

ステップ 1.3.1.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 7 x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x + 5$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

ステップ 1.3.1.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

ステップ 1.3.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $7 x + 5$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

ステップ 1.3.1.3.3

総和則では、 $7 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

ステップ 1.3.1.3.4

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

ステップ 1.3.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

ステップ 1.3.1.3.6

$7$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

ステップ 1.3.1.3.7

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

ステップ 1.3.1.3.8

$7$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \cdot 7}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

ステップ 1.3.1.3.9

$\frac{1}{7 x + 5}$ と $7$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

ステップ 1.3.1.3.10

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 7 x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1.3.10.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x + 5$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

ステップ 1.3.1.3.10.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

ステップ 1.3.1.3.10.3

$u$ のすべての発生を $7 x + 5$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

ステップ 1.3.1.3.11

総和則では、 $7 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}$

ステップ 1.3.1.3.12

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}$

ステップ 1.3.1.3.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}$

ステップ 1.3.1.3.14

$7$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}$

ステップ 1.3.1.3.15

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + 0)}$

ステップ 1.3.1.3.16

$7$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \cdot 7}$

ステップ 1.3.1.3.17

$7$ を $e^{7 x + 5}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{7 e^{7 x + 5}}$

ステップ 1.3.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{7 x + 5} \cdot \frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$

ステップ 1.3.1.5

$\frac{7}{7 x + 5}$ に $\frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

ステップ 1.3.1.6

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.6.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

ステップ 1.3.1.6.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$

ステップ 1.3.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$ は $0$ に近づきます。

$0$

ステップ 1.4

水平漸近線のリスト：

$y = 0$

ステップ 1.5

対数関数と三角関数の斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 1.6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - \frac{5}{7}$

水平漸近線： $y = 0$

垂直漸近線： $x = - \frac{5}{7}$

水平漸近線： $y = 0$

ステップ 2

$x = 1$ で点を求めます。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{\ln (7 (1) + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$7$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{\ln (7 + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

ステップ 2.2.1.2

$7$ と $5$ をたし算します。

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 (1) + 5}}$

ステップ 2.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$7$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 + 5}}$

ステップ 2.2.2.2

$7$ と $5$ をたし算します。

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{12}}$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ です。

$\frac{\ln (12)}{e^{12}}$

ステップ 2.3

$\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ を10進数に変換します。

$y = 1.52677941 \times 10^{- 5}$

ステップ 3

$x = 2$ で点を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \frac{\ln (7 (2) + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$7$ に $2$ をかけます。

$f (2) = \frac{\ln (14 + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

ステップ 3.2.1.2

$14$ と $5$ をたし算します。

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{7 (2) + 5}}$

ステップ 3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$7$ に $2$ をかけます。

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{14 + 5}}$

ステップ 3.2.2.2

$14$ と $5$ をたし算します。

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{19}}$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ です。

$\frac{\ln (19)}{e^{19}}$

ステップ 3.3

$\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ を10進数に変換します。

$y = 1.64970922 \times 10^{- 8}$

ステップ 4

$x = 3$ で点を求めます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \frac{\ln (7 (3) + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$7$ に $3$ をかけます。

$f (3) = \frac{\ln (21 + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

ステップ 4.2.1.2

$21$ と $5$ をたし算します。

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{7 (3) + 5}}$

ステップ 4.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$7$ に $3$ をかけます。

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{21 + 5}}$

ステップ 4.2.2.2

$21$ と $5$ をたし算します。

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{26}}$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ です。

$\frac{\ln (26)}{e^{26}}$

ステップ 4.3

$\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ を10進数に変換します。

$y = 1.66459052 \times 10^{- 11}$

ステップ 5

対数関数は、 $x = - \frac{5}{7}$ における垂直漸近線と点 $(1, 1.52677941), (2, 1.64970922), (3, 1.66459052)$ を利用してグラフにすることができます。

垂直漸近線： $x = - \frac{5}{7}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.527 \\ 2 & 1.65 \\ 3 & 1.665 \end{array}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例