微分積分例

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

ステップ 1

漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

式 $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 1.2

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

ステップ 1.2.1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.2.1.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

ステップ 1.2.1.1.2.1.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

ステップ 1.2.1.1.2.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

ステップ 1.2.1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.2.3.1

0でない定数に無限大倍すると無限大です。

$\frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

ステップ 1.2.1.1.2.3.2

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

ステップ 1.2.1.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 1.2.1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 1.2.1.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.2.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.2.1.3.2

総和則では、 $1 - \ln (x^{2})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.2.1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.2.1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x^{2})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.2.1.3.4.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.2.1.3.4.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.2.1.3.4.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.2.1.3.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{x^{2}} (2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.2.1.3.4.4

$2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{2}{x^{2}} x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.2.1.3.4.5

$\frac{2}{x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.2.1.3.4.6

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.3.4.6.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.2.1.3.4.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.3.4.6.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.2.1.3.4.6.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.2.1.3.4.6.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.2.1.3.5

$0$ から $\frac{2}{x}$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.2.1.3.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x}}{3 x^{2}}$

ステップ 1.2.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

ステップ 1.2.1.5

因数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.5.1

$\frac{1}{3 x^{2}}$ に $\frac{2}{x}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{2} x}$

ステップ 1.2.1.5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 (x^{1} x^{2})}$

ステップ 1.2.1.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{1 + 2}}$

ステップ 1.2.1.5.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{3}}$

ステップ 1.2.2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to \infty} \frac{2}{3 x^{3}}$

ステップ 1.2.2.2

$\frac{2}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{2}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 1.2.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$- \frac{2}{3} \cdot 0$

ステップ 1.2.4

$- \frac{2}{3} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 (\frac{2}{3})$

ステップ 1.2.4.2

$0$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$0$

ステップ 1.3

水平漸近線のリスト：

$y = 0$

ステップ 1.4

対数関数と三角関数の斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 1.5

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線： $y = 0$

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線： $y = 0$

ステップ 2

$x = 1$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{1 - 2 \ln (1)}{{(1)}^{3}}$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f (1) = \frac{1 - 2 \cdot 0}{1^{3}}$

ステップ 2.2.1.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f (1) = \frac{1 + 0}{1^{3}}$

ステップ 2.2.1.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (1) = \frac{1}{1^{3}}$

ステップ 2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{1}{1}$

ステップ 2.2.2.2

$1$ を $1$ で割ります。

$f (1) = 1$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 2.3

$1$ を10進数に変換します。

$y = 1$

ステップ 3

$x = 2$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \frac{1 - 2 \ln (2)}{{(2)}^{3}}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (2)$ を簡約します。

$f (2) = \frac{1 - \ln (2^{2})}{2^{3}}$

ステップ 3.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = \frac{1 - \ln (4)}{2^{3}}$

ステップ 3.2.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f (2) = \frac{1 - \ln (4)}{8}$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $\frac{1 - \ln (4)}{8}$ です。

$\frac{1 - \ln (4)}{8}$

ステップ 3.3

$\frac{1 - \ln (4)}{8}$ を10進数に変換します。

$y = - 0.04828679$

ステップ 4

$x = 3$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \frac{1 - 2 \ln (3)}{{(3)}^{3}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (3)$ を簡約します。

$f (3) = \frac{1 - \ln (3^{2})}{3^{3}}$

ステップ 4.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = \frac{1 - \ln (9)}{3^{3}}$

ステップ 4.2.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f (3) = \frac{1 - \ln (9)}{27}$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $\frac{1 - \ln (9)}{27}$ です。

$\frac{1 - \ln (9)}{27}$

ステップ 4.3

$\frac{1 - \ln (9)}{27}$ を10進数に変換します。

$y = - 0.04434165$

ステップ 5

対数関数は、 $x = 0$ における垂直漸近線と点 $(1, 1), (2, - 0.04828679), (3, - 0.04434165)$ を利用してグラフにすることができます。

垂直漸近線： $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & - 0.048 \\ 3 & - 0.044 \end{array}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例