微分積分例

$\frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{x})}^{3} (\ln (x)))$

ステップ 1

漸近線を求めます。

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ステップ 1.1

式 $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 1.2

$\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $0$ 、 $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $- \infty$ を右から $x$ $\to$ $0$ としているので、 $x = 0$ は垂直漸近線です。

$x = 0$

ステップ 1.3

対数を無視して、 $n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 1.4

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 3$

ステップ 1.5

$n = m$ なので、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。ここで $a = 64$ と $b = 3$ です。

$y = \frac{64}{3}$

ステップ 1.6

対数関数と三角関数の斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 1.7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線： $y = \frac{64}{3}$

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線： $y = \frac{64}{3}$

ステップ 2

$x = 1$ で点を求めます。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{1})}^{3} (\ln (1)))$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$1$ を $1$ で割ります。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + 1)}^{3} \ln (1))$

ステップ 2.2.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (5^{3} \ln (1))$

ステップ 2.2.3

$5$ を $3$ 乗します。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \ln (1))$

ステップ 2.2.4

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \cdot 0)$

ステップ 2.2.5

$125$ に $0$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 0$

ステップ 2.2.6

$\frac{1}{3}$ に $0$ をかけます。

$f (1) = 0$

ステップ 2.2.7

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 2.3

$0$ を10進数に変換します。

$y = 0$

ステップ 3

$x = 2$ で点を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{2})}^{3} (\ln (2)))$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

ステップ 3.2.2

$4$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

ステップ 3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

ステップ 3.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$4$ に $2$ をかけます。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{8 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

ステップ 3.2.4.2

$8$ と $1$ をたし算します。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{9}{2})}^{3} \ln (2))$

ステップ 3.2.5

積の法則を $\frac{9}{2}$ に当てはめます。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{9^{3}}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

ステップ 3.2.6

$9$ を $3$ 乗します。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

ステップ 3.2.7

$2$ を $3$ 乗します。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{8} \cdot \ln (2))$

ステップ 3.2.8

対数の中の $\frac{729}{8}$ を移動させて $\frac{729}{8} \ln (2)$ を簡約します。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot \ln (2^{\frac{729}{8}})$

ステップ 3.2.9

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (2^{\frac{729}{8}})$ を簡約します。

$f (2) = \ln ({(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 3.2.10

${(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.10.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (2) = \ln (2^{\frac{729}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

ステップ 3.2.10.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.10.2.1

$3$ を $729$ で因数分解します。

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 (243)}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

ステップ 3.2.10.2.2

共通因数を約分します。

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 \cdot 243}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

ステップ 3.2.10.2.3

式を書き換えます。

$f (2) = \ln (2^{\frac{243}{8}})$

ステップ 3.2.11

最終的な答えは $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ です。

$\ln (2^{\frac{243}{8}})$

ステップ 3.3

$\ln (2^{\frac{243}{8}})$ を10進数に変換します。

$y = 21.0543456$

ステップ 4

$x = 3$ で点を求めます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{3})}^{3} (\ln (3)))$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

ステップ 4.2.2

$4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

ステップ 4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

ステップ 4.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$4$ に $3$ をかけます。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{12 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

ステップ 4.2.4.2

$12$ と $1$ をたし算します。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{13}{3})}^{3} \ln (3))$

ステップ 4.2.5

積の法則を $\frac{13}{3}$ に当てはめます。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{13^{3}}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

ステップ 4.2.6

$13$ を $3$ 乗します。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

ステップ 4.2.7

$3$ を $3$ 乗します。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{27} \cdot \ln (3))$

ステップ 4.2.8

対数の中の $\frac{2197}{27}$ を移動させて $\frac{2197}{27} \ln (3)$ を簡約します。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (3^{\frac{2197}{27}})$

ステップ 4.2.9

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (3^{\frac{2197}{27}})$ を簡約します。

$f (3) = \ln ({(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 4.2.10

${(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.10.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}})$

ステップ 4.2.10.2

$\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.10.2.1

$\frac{2197}{27}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27 \cdot 3}})$

ステップ 4.2.10.2.2

$27$ に $3$ をかけます。

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{81}})$

ステップ 4.2.11

最終的な答えは $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ です。

$\ln (3^{\frac{2197}{81}})$

ステップ 4.3

$\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ を10進数に変換します。

$y = 29.79816294$

ステップ 5

対数関数は、 $x = 0$ における垂直漸近線と点 $(1, 0), (2, 21.0543456), (3, 29.79816294)$ を利用してグラフにすることができます。

垂直漸近線： $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 21.054 \\ 3 & 29.798 \end{array}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例