微分積分例

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

ステップ 1

括弧を削除します。

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln^{12} (x) + \ln (x^{12}))$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $\ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ です。

$\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$f (x) = x^{12}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{12}] \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

ステップ 4.2.1.2

$n = 12$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 {u_{1}}^{11} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

ステップ 4.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$12 \ln^{11} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

ステップ 4.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$12 \ln^{11} (x) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{x}$ と $12$ をまとめます。

$\frac{12}{x} \ln^{11} (x) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

ステップ 4.2.4

$\frac{12}{x}$ と $\ln^{11} (x)$ をまとめます。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{12}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{12}$ とします。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{12}]$

ステップ 4.3.1.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

ステップ 4.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{12}$ で置き換えます。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

ステップ 4.3.2

$n = 12$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} (12 x^{11})$

ステップ 4.3.3

$12$ と $\frac{1}{x^{12}}$ をまとめます。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x^{12}} x^{11}$

ステップ 4.3.4

$\frac{12}{x^{12}}$ と $x^{11}$ をまとめます。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12 x^{11}}{x^{12}}$

ステップ 4.3.5

$x^{11}$ と $x^{12}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.5.1

$x^{11}$ を $12 x^{11}$ で因数分解します。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{12}}$

ステップ 4.3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.5.2.1

$x^{11}$ を $x^{12}$ で因数分解します。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

ステップ 4.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

ステップ 4.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

微分積分 例

微分積分例