微分積分例

$y = \frac{1}{\sqrt{x + \sqrt[3]{x}}}$

ステップ 1

右辺を有理指数で書き換えます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{1}{\sqrt{x + x^{\frac{1}{3}}}}$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + x^{\frac{1}{3}}}$ を ${(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{({(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 4.1.2

${({(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 4.1.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 1}{2}}]$

ステップ 4.1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + x^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + x^{\frac{1}{3}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.2.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $x + x^{\frac{1}{3}}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.6.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.7.2

${(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.8

総和則では、 $x + x^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

ステップ 4.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

ステップ 4.10

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 4.11

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 4.12

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 4.13

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 4.14

分子を簡約します。

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ステップ 4.14.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 4.14.2

$1$ から $3$ を引きます。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 4.15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 4.16

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 4.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 4.18

簡約します。

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ステップ 4.18.1

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ の因数を並べ替えます。

$- (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.18.2

分配則を当てはめます。

$(- 1 \cdot 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.18.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.18.4

$- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ に $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$\frac{- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.18.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.18.5.1

$- 1$ を $- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ で因数分解します。

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ステップ 4.18.5.1.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (1) - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.18.5.1.2

$- 1$ を $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1) - (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.18.5.1.3

$- 1$ を $- 1 (1) - (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.18.5.1.4

$- 1 (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ を $- (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ に書き換えます。

$\frac{- (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.18.5.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- (\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.18.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.18.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.18.7

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$ を掛けます。

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ステップ 4.18.7.1

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$ に $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} (3 x^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 4.18.7.2

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

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