微分積分例

$\frac{x}{x^{2} + 49}$

ステップ 1

$\frac{x}{x^{2} + 49}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 49$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 49) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$x^{2} + 49$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 49 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 49$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ です。

$\frac{x^{2} + 49 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.5

$49$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $49$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 49 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

ステップ 2.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 49 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

ステップ 2.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

ステップ 2.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

ステップ 2.1.7

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 49}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = - x^{2} + 49$ および $g (x) = {(x^{2} + 49)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

${({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.2

総和則では、 $- x^{2} + 49$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ です。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.6

$49$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $49$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.7

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 49$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 49$ とします。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 49$ で置き換えます。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (2 (x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.2

総和則では、 $x^{2} + 49$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ です。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x + \frac{d}{d x} [49]))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.4

$49$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $49$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.5.2

$2$ を $x^{2} + 49$ の左に移動させます。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) (2 \cdot (x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.5.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 2 {(x^{2} + 49)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.2

${(x^{2} + 49)}^{2}$ を $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ に書き換えます。

$\frac{- 2 ((x^{2} + 49) (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 49) + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.2

$49$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{- 2 (x^{4} + 49 \cdot x^{2} + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.3

$49$ に $49$ をかけます。

$\frac{- 2 (x^{4} + 49 x^{2} + 49 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.2

$49 x^{2}$ と $49 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{- 2 (x^{4} + 98 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.5

分配則を当てはめます。

$\frac{(- 2 x^{4} - 2 (98 x^{2}) - 2 \cdot 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.6.1

$98$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{(- 2 x^{4} - 196 x^{2} - 2 \cdot 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.6.2

$- 2$ に $2401$ をかけます。

$\frac{(- 2 x^{4} - 196 x^{2} - 4802) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.7

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 x^{4} x - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (x^{1} x^{4}) - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 x^{1 + 4} - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 (x \cdot x^{2}) - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 (x^{1} x^{2}) - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{1 + 2} - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.9.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.9.2

$- 4$ に $49$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.10.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.10.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2} x^{1} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2 + 1} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x^{2} - 196) (x^{3} + 49 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} (x^{3} + 49 x) - 196 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (49 x) - 196 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{2} x - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 (x \cdot x^{2}) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 (x^{1} x^{2}) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{1 + 2} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{3} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.4

$4$ に $49$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 196 x^{3} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.5

$49$ に $- 196$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 196 x^{3} - 196 x^{3} - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.2

$196 x^{3}$ から $196 x^{3}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 0 - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.3

$4 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.2

$- 2 x^{5}$ と $4 x^{5}$ をたし算します。

$\frac{2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.3

$- 4802 x$ から $9604 x$ を引きます。

$\frac{2 x^{5} - 196 x^{3} - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.1

$2 x$ を $2 x^{5} - 196 x^{3} - 14406 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.1.1

$2 x$ を $2 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x^{4}) - 196 x^{3} - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.2

$2 x$ を $- 196 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2}) - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.3

$2 x$ を $- 14406 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.4

$2 x$ を $2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.5

$2 x$ を $2 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x^{4} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$\frac{2 x (u^{2} - 98 u - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.4

たすき掛けを利用して $u^{2} - 98 u - 7203$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 7203$ で、その和が $- 98$ です。

$- 147, 49$

ステップ 2.2.5.4.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{2 x ((u - 147) (u + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.5

$x^{2} + 49$ と ${(x^{2} + 49)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.5.1

$x^{2} + 49$ を $2 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)$ で因数分解します。

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.5.2.1

$x^{2} + 49$ を ${(x^{2} + 49)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

ステップ 2.2.5.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

ステップ 2.2.5.5.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$ です。

$\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$2 x (x^{2} - 147) = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 147 = 0$

ステップ 3.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.3.3

$x^{2} - 147$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$x^{2} - 147$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 147 = 0$

ステップ 3.3.3.2

$x$ について $x^{2} - 147 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

方程式の両辺に $147$ を足します。

$x^{2} = 147$

ステップ 3.3.3.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{147}$

ステップ 3.3.3.2.3

$\pm \sqrt{147}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.3.1

$147$ を $7^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.3.1.1

$49$ を $147$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{49 (3)}$

ステップ 3.3.3.2.3.1.2

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{7^{2} \cdot 3}$

ステップ 3.3.3.2.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 7 \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 7 \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 7 \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 7 \sqrt{3}, - 7 \sqrt{3}$

ステップ 3.3.4

最終解は $2 x (x^{2} - 147) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 7 \sqrt{3}, - 7 \sqrt{3}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 49}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0}{0 + 49}$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ と $49$ をたし算します。

$f (0) = \frac{0}{49}$

ステップ 4.1.2.2

$0$ を $49$ で割ります。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4.3

$7 \sqrt{3}$ を $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $7 \sqrt{3}$ で置換えます。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{{(7 \sqrt{3})}^{2} + 49}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

積の法則を $7 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

ステップ 4.3.2.1.2

$7$ を $2$ 乗します。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

ステップ 4.3.2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 49}$

ステップ 4.3.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 49}$

ステップ 4.3.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

ステップ 4.3.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

ステップ 4.3.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

ステップ 4.3.2.1.3.5

指数を求めます。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

ステップ 4.3.2.1.4

$49$ に $3$ をかけます。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{147 + 49}$

ステップ 4.3.2.1.5

$147$ と $49$ をたし算します。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{196}$

ステップ 4.3.2.2

$7$ と $196$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$7$ を $7 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 (\sqrt{3})}{196}$

ステップ 4.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.2.1

$7$ を $196$ で因数分解します。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7 \cdot 28}$

ステップ 4.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7 \cdot 28}$

ステップ 4.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{28}$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $\frac{\sqrt{3}}{28}$ です。

$\frac{\sqrt{3}}{28}$

ステップ 4.4

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ で代入して $7 \sqrt{3}$ 求めた点は、 $(7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$

ステップ 4.5

$- 7 \sqrt{3}$ を $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

式の変数 $x$ を $- 7 \sqrt{3}$ で置換えます。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{{(- 7 \sqrt{3})}^{2} + 49}$

ステップ 4.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.1

積の法則を $- 7 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{{(- 7)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

ステップ 4.5.2.1.2

$- 7$ を $2$ 乗します。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

ステップ 4.5.2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 49}$

ステップ 4.5.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 49}$

ステップ 4.5.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

ステップ 4.5.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

ステップ 4.5.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

ステップ 4.5.2.1.3.5

指数を求めます。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

ステップ 4.5.2.1.4

$49$ に $3$ をかけます。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{147 + 49}$

ステップ 4.5.2.1.5

$147$ と $49$ をたし算します。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{196}$

ステップ 4.5.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.1

$- 7$ と $196$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.1.1

$7$ を $- 7 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{196}$

ステップ 4.5.2.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.1.2.1

$7$ を $196$ で因数分解します。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{7 (28)}$

ステップ 4.5.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{7 \cdot 28}$

ステップ 4.5.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{28}$

ステップ 4.5.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 7 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{28}$

ステップ 4.5.2.3

最終的な答えは $- \frac{\sqrt{3}}{28}$ です。

$- \frac{\sqrt{3}}{28}$

ステップ 4.6

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ で代入して $- 7 \sqrt{3}$ 求めた点は、 $(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$

ステップ 4.7

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28}), (- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 7 \sqrt{3}) \cup (- 7 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 7 \sqrt{3}) \cup (7 \sqrt{3}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 12.22435565$ で置換えます。

$f'' (- 12.22435565) = \frac{2 (- 12.22435565) ({(- 12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$2$ に $- 12.22435565$ をかけます。

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 24.4487113 ({(- 12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 24.4487113$ に ${(- 12.22435565)}^{2} - 147$ をかけます。

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 12.22435565$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{(149.43487113 + 49)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$149.43487113$ と $49$ をたし算します。

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{198.43487113}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$198.43487113$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{7813650.47871413}$

ステップ 6.2.3

$- 59.52946133$ を $7813650.47871413$ で割ります。

$f'' (- 12.22435565) = - 0.00000761$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- 0.00000761$ です。

$- 0.00000761$

ステップ 6.3

$- 12.22435565$ で二次導関数は $- 7.61864911 E - 6$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 6.06217782$ で置換えます。

$f'' (- 6.06217782) = \frac{2 (- 6.06217782) ({(- 6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$2$ に $- 6.06217782$ をかけます。

$f'' (- 6.06217782) = \frac{- 12.12435565 ({(- 6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 12.12435565$ に ${(- 6.06217782)}^{2} - 147$ をかけます。

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$- 6.06217782$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{(36.75 + 49)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$36.75$ と $49$ をたし算します。

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{85.75}^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$85.75$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{630525.109375}$

ステップ 7.2.3

$1336.71021074$ を $630525.109375$ で割ります。

$f'' (- 6.06217782) = 0.00211999$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $0.00211999$ です。

$0.00211999$

ステップ 7.3

$- 6.06217782$ で二次導関数は $0.00211999$ です。これは正の値なので、 $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ で増加

ステップ 8

区間 $(0, 7 \sqrt{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $6.06217782$ で置換えます。

$f'' (6.06217782) = \frac{2 (6.06217782) ({(6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$2$ に $6.06217782$ をかけます。

$f'' (6.06217782) = \frac{12.12435565 ({6.06217782}^{2} - 147)}{{({6.06217782}^{2} + 49)}^{3}}$

ステップ 8.2.1.2

$12.12435565$ に ${6.06217782}^{2} - 147$ をかけます。

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{({6.06217782}^{2} + 49)}^{3}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$6.06217782$ を $2$ 乗します。

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{(36.75 + 49)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.2

$36.75$ と $49$ をたし算します。

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{85.75}^{3}}$

ステップ 8.2.2.3

$85.75$ を $3$ 乗します。

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{630525.109375}$

ステップ 8.2.3

$- 1336.71021074$ を $630525.109375$ で割ります。

$f'' (6.06217782) = - 0.00211999$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- 0.00211999$ です。

$- 0.00211999$

ステップ 8.3

$6.06217782$ で二次導関数は $- 0.00211999$ です。これは負の値なので、 $(0, 7 \sqrt{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, 7 \sqrt{3})$ で減少

ステップ 9

区間 $(7 \sqrt{3}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $12.22435565$ で置換えます。

$f'' (12.22435565) = \frac{2 (12.22435565) ({(12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$2$ に $12.22435565$ をかけます。

$f'' (12.22435565) = \frac{24.4487113 ({12.22435565}^{2} - 147)}{{({12.22435565}^{2} + 49)}^{3}}$

ステップ 9.2.1.2

$24.4487113$ に ${12.22435565}^{2} - 147$ をかけます。

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{({12.22435565}^{2} + 49)}^{3}}$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$12.22435565$ を $2$ 乗します。

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{(149.43487113 + 49)}^{3}}$

ステップ 9.2.2.2

$149.43487113$ と $49$ をたし算します。

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{198.43487113}^{3}}$

ステップ 9.2.2.3

$198.43487113$ を $3$ 乗します。

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{7813650.47871413}$

ステップ 9.2.3

$59.52946133$ を $7813650.47871413$ で割ります。

$f'' (12.22435565) = 0.00000761$

ステップ 9.2.4

最終的な答えは $0.00000761$ です。

$0.00000761$

ステップ 9.3

$12.22435565$ で二次導関数は $7.61864911 E - 6$ です。これは正の値なので、 $(7 \sqrt{3}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(7 \sqrt{3}, \infty)$ で増加

ステップ 10

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28}), (0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$ です。

$(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28}), (0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例