微分積分例

$3^{2 x} - 3^{x + 2} + 8 = 0$

ステップ 1

$3^{x + 2}$ を $3^{x} \cdot 3^{2}$ に書き換えます。

$3^{2 x} - (3^{x} \cdot 3^{2}) + 8 = 0$

ステップ 2

$3^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

${(3^{x})}^{2} - (3^{x} \cdot 3^{2}) + 8 = 0$

ステップ 3

括弧を削除します。

${(3^{x})}^{2} - 3^{x} \cdot 3^{2} + 8 = 0$

ステップ 4

$u$ を $3^{x}$ に代入します。

$u^{2} - u \cdot 3^{2} + 8 = 0$

ステップ 5

各項を簡約します。

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ステップ 5.1

$3$ を $2$ 乗します。

$u^{2} - u \cdot 9 + 8 = 0$

ステップ 5.2

$9$ に $- 1$ をかけます。

$u^{2} - 9 u + 8 = 0$

ステップ 6

$u$ について解きます。

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ステップ 6.1

たすき掛けを利用して $u^{2} - 9 u + 8$ を因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $8$ で、その和が $- 9$ です。

$- 8, - 1$

ステップ 6.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 8) (u - 1) = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 8 = 0$

$u - 1 = 0$

ステップ 6.3

$u - 8$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 6.3.1

$u - 8$ が $0$ に等しいとします。

$u - 8 = 0$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$u = 8$

ステップ 6.4

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 6.4.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 6.5

最終解は $(u - 8) (u - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 8, 1$

ステップ 7

$8$ を $u = 3^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$8 = 3^{x}$

ステップ 8

$8 = 3^{x}$ を解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $3^{x} = 8$ として書き換えます。

$3^{x} = 8$

ステップ 8.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{x}) = \ln (8)$

ステップ 8.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{x})$ を展開します。

$x \ln (3) = \ln (8)$

ステップ 8.4

$x \ln (3) = \ln (8)$ の各項を $\ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.4.1

$x \ln (3) = \ln (8)$ の各項を $\ln (3)$ で割ります。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

ステップ 8.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.4.2.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

ステップ 8.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

ステップ 9

$1$ を $u = 3^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$1 = 3^{x}$

ステップ 10

$1 = 3^{x}$ を解きます。

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ステップ 10.1

方程式を $3^{x} = 1$ として書き換えます。

$3^{x} = 1$

ステップ 10.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

ステップ 10.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{x})$ を展開します。

$x \ln (3) = \ln (1)$

ステップ 10.4

右辺を簡約します。

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ステップ 10.4.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$x \ln (3) = 0$

ステップ 10.5

$x \ln (3) = 0$ の各項を $\ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.5.1

$x \ln (3) = 0$ の各項を $\ln (3)$ で割ります。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 10.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.5.2.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 10.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 10.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 10.5.3.1

$0$ を $\ln (3)$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 11

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}, 0$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}, 0$

10進法形式：

$x = 1.89278926 \dots, 0$

微分積分 例

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