微分積分例

$x^{2} - x = \log_{5} (25)$

ステップ 1

$25$ の対数の底 $5$ は $2$ です。

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ステップ 1.1

方程式として書き換えます。

$x^{2} - x = \log_{5} (25) = x$

ステップ 1.2

対数の定義を利用して $\log_{5} (25) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ が $1$ に等しくなければ、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$x^{2} - x = 5^{x} = 25$

ステップ 1.3

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$x^{2} - x = 5^{x} = 5^{2}$

ステップ 1.4

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x^{2} - x = x = 2$

ステップ 1.5

変数 $x$ は $2$ に等しいです。

$x^{2} - x = 2$

ステップ 2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x^{2} - x - 2 = 0$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $- 1$ です。

$- 2, 1$

ステップ 3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x + 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 7

最終解は $(x - 2) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 1$

微分積分 例

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