微分積分例

$e^{\ln (x) - 3 \ln (x)} = \frac{5}{2}$

ステップ 1

$x$ について解きます。

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ステップ 1.1

$e^{\ln (x) - 3 \ln (x)}$ を簡約します。

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ステップ 1.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $- 3 \ln (x)$ を簡約します。

$e^{\ln (x) - \ln (x^{3})} = \frac{5}{2}$

ステップ 1.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$e^{\ln (\frac{x}{x^{3}})} = \frac{5}{2}$

ステップ 1.1.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{x}{x^{3}} = \frac{5}{2}$

ステップ 1.1.4

$x$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1}}{x^{3}} = \frac{5}{2}$

ステップ 1.1.4.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1}{x^{3}} = \frac{5}{2}$

ステップ 1.1.4.3

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.3.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} = \frac{5}{2}$

ステップ 1.1.4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} = \frac{5}{2}$

ステップ 1.1.4.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{5}{2}$

ステップ 1.2

1番目の分数の分子に2番目の分数の分母を掛けます。これを1番目の分数の分母と2番目の分数の分子の積に等しくします。

$1 \cdot 2 = x^{2} \cdot 5$

ステップ 1.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

方程式を $x^{2} \cdot 5 = 1 \cdot 2$ として書き換えます。

$x^{2} \cdot 5 = 1 \cdot 2$

ステップ 1.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \cdot 5 = 2$

ステップ 1.3.3

$x^{2} \cdot 5 = 2$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$x^{2} \cdot 5 = 2$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{x^{2} \cdot 5}{5} = \frac{2}{5}$

ステップ 1.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \cdot 5}{5} = \frac{2}{5}$

ステップ 1.3.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{2}{5}$

ステップ 1.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

ステップ 1.3.5

$\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

$\sqrt{\frac{2}{5}}$ を $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

ステップ 1.3.5.2

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 1.3.5.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.3.5.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 1.3.5.3.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

ステップ 1.3.5.3.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

ステップ 1.3.5.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.3.5.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 1.3.5.3.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 1.3.5.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.3.5.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.3.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.3.5.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.5.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.3.5.3.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

ステップ 1.3.5.3.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

ステップ 1.3.5.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.5.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

ステップ 1.3.5.4.2

$2$ に $5$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 1.3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 1.3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 1.3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 2

$e^{\ln (x) - 3 \ln (x)} = \frac{5}{2}$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

10進法形式：

$x = 0.63245553 \dots$

微分積分 例

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