微分積分例

$\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{2} = \frac{x}{6} + \frac{x + 6}{6 - x}$

ステップ 1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x - 6, 2, 6, 6 - x$

ステップ 1.2

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 1.3

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 1.4

$2$ には、 $1$ と $2$ 以外に因数がないため。

$2$ は素数です

ステップ 1.5

$6$ には $2$ と $3$ の因数があります。

$2 \cdot 3$

ステップ 1.6

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 1.7

$1, 2, 6, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$2 \cdot 3$

ステップ 1.8

$2$ に $3$ をかけます。

$6$

ステップ 1.9

$x - 6$ の因数は $x - 6$ そのものです。

$(x - 6) = x - 6$

$(x - 6)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 1.10

$6 - x$ の因数は $6 - x$ そのものです。

$(6 - x) = 6 - x$

$(6 - x)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 1.11

$x - 6, 6 - x$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$(x - 6) (6 - x)$

ステップ 1.12

ある数の最小公倍数 $LCM$ はその数が因数分解された最小の数です。

$6 (x - 6) (6 - x)$

ステップ 2

$\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{2} = \frac{x}{6} + \frac{x + 6}{6 - x}$ の各項に $6 (x - 6) (6 - x)$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{2} = \frac{x}{6} + \frac{x + 6}{6 - x}$ の各項に $6 (x - 6) (6 - x)$ を掛けます。

$\frac{x}{x - 6} (6 (x - 6) (6 - x)) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$6 \frac{x}{x - 6} ((x - 6) (6 - x)) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.2

$6$ と $\frac{x}{x - 6}$ をまとめます。

$\frac{6 x}{x - 6} ((x - 6) (6 - x)) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.3

$x - 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{x - 6} ((x - 6) (6 - x)) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$6 x (6 - x) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.4

分配則を当てはめます。

$6 x \cdot 6 + 6 x (- x) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.5

$6$ に $6$ をかけます。

$36 x + 6 x (- x) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$36 x + 6 \cdot - 1 x \cdot x - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.7.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.7.1.1

$x$ を移動させます。

$36 x + 6 \cdot - 1 (x \cdot x) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.7.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$36 x + 6 \cdot - 1 x^{2} - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.7.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.8.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$36 x - 6 x^{2} + \frac{- 1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.8.2

$2$ を $6 (x - 6) (6 - x)$ で因数分解します。

$36 x - 6 x^{2} + \frac{- 1}{2} (2 (3 (x - 6) (6 - x))) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.8.3

共通因数を約分します。

$36 x - 6 x^{2} + \frac{- 1}{2} (2 (3 (x - 6) (6 - x))) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.8.4

式を書き換えます。

$36 x - 6 x^{2} - (3 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.9

$- 1$ を $x$ で因数分解します。

$36 x - 6 x^{2} - (3 (- 1 (- x) - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.10

$- 6$ を $- 1 (6)$ に書き換えます。

$36 x - 6 x^{2} - (3 (- 1 (- x) - 1 (6)) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.11

$- 1$ を $- 1 (- x) - 1 (6)$ で因数分解します。

$36 x - 6 x^{2} - (3 (- 1 (- x + 6)) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.12

項を並べ替えます。

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 (- x + 6) (- x + 6)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.13

$- x + 6$ を $1$ 乗します。

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 ({(- x + 6)}^{1} (- x + 6))) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.14

$- x + 6$ を $1$ 乗します。

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 ({(- x + 6)}^{1} {(- x + 6)}^{1})) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 {(- x + 6)}^{1 + 1}) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.16

$1$ と $1$ をたし算します。

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 {(- x + 6)}^{2}) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.17

$3$ に $- 1$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} - (- 3 {(- x + 6)}^{2}) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.2.1.18

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 6 \frac{x}{6} ((x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.2

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 6 \frac{x}{6} ((x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.2.2

式を書き換えます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x ((x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 6) (6 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (x (6 - x) - 6 (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (x \cdot 6 + x (- x) - 6 (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (x \cdot 6 + x (- x) - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.4.1.1

$6$ を $x$ の左に移動させます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 \cdot x + x (- x) - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.4.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - x \cdot x - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.4.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.4.1.3.1

$x$ を移動させます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - (x \cdot x) - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.4.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - x^{2} - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.4.1.4

$- 6$ に $6$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - x^{2} - 36 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.4.1.5

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - x^{2} - 36 + 6 x) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.4.2

$6 x$ と $6 x$ をたし算します。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (12 x - x^{2} - 36) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.5

分配則を当てはめます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (12 x) + x (- x^{2}) + x \cdot - 36 + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.6.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x \cdot x + x (- x^{2}) + x \cdot - 36 + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.6.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x \cdot x - x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.6.3

$- 36$ を $x$ の左に移動させます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x \cdot x - x \cdot x^{2} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.7.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.7.1.1

$x$ を移動させます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 (x \cdot x) - x \cdot x^{2} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.7.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x \cdot x^{2} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.7.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.7.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - (x^{2} x) - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.7.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.7.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - (x^{2} x^{1}) - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.7.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{2 + 1} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.7.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 \frac{x + 6}{6 - x} ((x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.9

$6$ と $\frac{x + 6}{6 - x}$ をまとめます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + \frac{6 (x + 6)}{6 - x} ((x - 6) (6 - x))$

ステップ 2.3.1.10

$6 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.10.1

$6 - x$ を $(x - 6) (6 - x)$ で因数分解します。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + \frac{6 (x + 6)}{6 - x} ((6 - x) (x - 6))$

ステップ 2.3.1.10.2

共通因数を約分します。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + \frac{6 (x + 6)}{6 - x} ((6 - x) (x - 6))$

ステップ 2.3.1.10.3

式を書き換えます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 (x + 6) (x - 6)$

ステップ 2.3.1.11

分配則を当てはめます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + (6 x + 6 \cdot 6) (x - 6)$

ステップ 2.3.1.12

$6$ に $6$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + (6 x + 36) (x - 6)$

ステップ 2.3.1.13

分配法則（FOIL法）を使って $(6 x + 36) (x - 6)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.13.1

分配則を当てはめます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x (x - 6) + 36 (x - 6)$

ステップ 2.3.1.13.2

分配則を当てはめます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 6 + 36 (x - 6)$

ステップ 2.3.1.13.3

分配則を当てはめます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 6 + 36 x + 36 \cdot - 6$

ステップ 2.3.1.14

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.14.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.14.1.1.1

$x$ を移動させます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 6 + 36 x + 36 \cdot - 6$

ステップ 2.3.1.14.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} + 6 x \cdot - 6 + 36 x + 36 \cdot - 6$

ステップ 2.3.1.14.1.2

$- 6$ に $6$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} - 36 x + 36 x + 36 \cdot - 6$

ステップ 2.3.1.14.1.3

$36$ に $- 6$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} - 36 x + 36 x - 216$

ステップ 2.3.1.14.2

$- 36 x$ と $36 x$ をたし算します。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} + 0 - 216$

ステップ 2.3.1.14.3

$6 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} - 216$

ステップ 2.3.2

$12 x^{2}$ と $6 x^{2}$ をたし算します。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 18 x^{2} - x^{3} - 36 x - 216$

ステップ 3

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

方程式の両辺から $18 x^{2}$ を引きます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} - 18 x^{2} = - x^{3} - 36 x - 216$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺に $x^{3}$ を足します。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} - 18 x^{2} + x^{3} = - 36 x - 216$

ステップ 3.1.3

方程式の両辺に $36 x$ を足します。

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

${(- x + 6)}^{2}$ を $(- x + 6) (- x + 6)$ に書き換えます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 ((- x + 6) (- x + 6)) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- x + 6) (- x + 6)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.2.1

分配則を当てはめます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- x (- x + 6) + 6 (- x + 6)) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.4.2.2

分配則を当てはめます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- x (- x) - x \cdot 6 + 6 (- x + 6)) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.4.2.3

分配則を当てはめます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- x (- x) - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.4.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.4.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.4.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.4.3.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 (1 x^{2} - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.4.3.1.4

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.4.3.1.5

$6$ に $- 1$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - 6 x + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.4.3.1.6

$- 1$ に $6$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - 6 x - 6 x + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.4.3.1.7

$6$ に $6$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.4.3.2

$- 6 x$ から $6 x$ を引きます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - 12 x + 36) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.4.4

分配則を当てはめます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 x^{2} + 3 (- 12 x) + 3 \cdot 36 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.4.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.5.1

$- 12$ に $3$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 x^{2} - 36 x + 3 \cdot 36 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.4.5.2

$3$ に $36$ をかけます。

$36 x - 6 x^{2} + 3 x^{2} - 36 x + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.5

$36 x - 6 x^{2} + 3 x^{2} - 36 x + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1

$36 x$ から $36 x$ を引きます。

$- 6 x^{2} + 3 x^{2} + 0 + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.5.2

$- 6 x^{2} + 3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- 6 x^{2} + 3 x^{2} + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.6

$- 6 x^{2}$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$- 3 x^{2} + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.1.7

$- 3 x^{2}$ から $18 x^{2}$ を引きます。

$- 21 x^{2} + 108 + x^{3} + 36 x = - 216$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $216$ を足します。

$- 21 x^{2} + 108 + x^{3} + 36 x + 216 = 0$

ステップ 3.3

$108$ と $216$ をたし算します。

$- 21 x^{2} + x^{3} + 36 x + 324 = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

項を並べ替えます。

$x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324 = 0$

ステップ 3.4.2

有理根検定を用いて $x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324$ を因数分解します。

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ステップ 3.4.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 324, \pm 2, \pm 162, \pm 3, \pm 108, \pm 4, \pm 81, \pm 6, \pm 54, \pm 9, \pm 36, \pm 12, \pm 27, \pm 18$

$q = \pm 1$

ステップ 3.4.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 324, \pm 2, \pm 162, \pm 3, \pm 108, \pm 4, \pm 81, \pm 6, \pm 54, \pm 9, \pm 36, \pm 12, \pm 27, \pm 18$

ステップ 3.4.2.3

$- 3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 3$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

$- 3$ を多項式に代入します。

${(- 3)}^{3} - 21 {(- 3)}^{2} + 36 \cdot - 3 + 324$

ステップ 3.4.2.3.2

$- 3$ を $3$ 乗します。

$- 27 - 21 {(- 3)}^{2} + 36 \cdot - 3 + 324$

ステップ 3.4.2.3.3

$- 3$ を $2$ 乗します。

$- 27 - 21 \cdot 9 + 36 \cdot - 3 + 324$

ステップ 3.4.2.3.4

$- 21$ に $9$ をかけます。

$- 27 - 189 + 36 \cdot - 3 + 324$

ステップ 3.4.2.3.5

$- 27$ から $189$ を引きます。

$- 216 + 36 \cdot - 3 + 324$

ステップ 3.4.2.3.6

$36$ に $- 3$ をかけます。

$- 216 - 108 + 324$

ステップ 3.4.2.3.7

$- 216$ から $108$ を引きます。

$- 324 + 324$

ステップ 3.4.2.3.8

$- 324$ と $324$ をたし算します。

$0$

ステップ 3.4.2.4

$- 3$ は既知の根なので、多項式を $x + 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324}{x + 3}$

ステップ 3.4.2.5

$x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324$ を $x + 3$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$3$

$x^{3}$

$21 x^{2}$

$36 x$

$324$

ステップ 3.4.2.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$

ステップ 3.4.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

ステップ 3.4.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 3 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

ステップ 3.4.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

ステップ 3.4.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$

ステップ 3.4.2.5.7

被除数 $- 24 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$

ステップ 3.4.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$72 x$

ステップ 3.4.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 24 x^{2} - 72 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$

ステップ 3.4.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$

ステップ 3.4.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$

ステップ 3.4.2.5.12

被除数 $108 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$24 x$	+	$108$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$

ステップ 3.4.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$24 x$	+	$108$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$
							+	$108 x$	+	$324$

ステップ 3.4.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $108 x + 324$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$24 x$	+	$108$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$
							-	$108 x$	-	$324$

ステップ 3.4.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$24 x$	+	$108$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$
							-	$108 x$	-	$324$
										$0$

ステップ 3.4.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 24 x + 108$

ステップ 3.4.2.6

$x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 3) (x^{2} - 24 x + 108) = 0$

ステップ 3.4.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 24 x + 108$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $108$ で、その和が $- 24$ です。

$- 18, - 6$

ステップ 3.4.3.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 3) ((x - 18) (x - 6)) = 0$

ステップ 3.4.3.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 3) (x - 18) (x - 6) = 0$

ステップ 3.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 3 = 0$

$x - 18 = 0$

$x - 6 = 0$

ステップ 3.6

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 3.7

$x - 18$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$x - 18$ が $0$ に等しいとします。

$x - 18 = 0$

ステップ 3.7.2

方程式の両辺に $18$ を足します。

$x = 18$

ステップ 3.8

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 3.8.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 3.9

最終解は $(x + 3) (x - 18) (x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, 18, 6$

ステップ 4

$\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{2} = \frac{x}{6} + \frac{x + 6}{6 - x}$ が真にならない解を除外します。

$x = - 3, 18$

微分積分 例

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