微分積分例

$\int (x + 1) e^{7 x^{2} + 14 x} d x$

ステップ 1

$u = 7 x^{2} + 14 x$ とします。次に $d u = (14 x + 14) d x$ すると、 $\frac{1}{14} d u = (x + 1) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 7 x^{2} + 14 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$7 x^{2} + 14 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 14 x]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $7 x^{2} + 14 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $7$ をかけます。

$14 x + \frac{d}{d x} [14 x]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [14 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$14$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $14 x$ の微分係数は $14 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$14 x + 14 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$14 x + 14 \cdot 1$

ステップ 1.1.4.3

$14$ に $1$ をかけます。

$14 x + 14$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u} \frac{1}{14} d u$

ステップ 2

$e^{u}$ と $\frac{1}{14}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u}}{14} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{14}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{14}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{14} \int e^{u} d u$

ステップ 4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{14} (e^{u} + C)$

ステップ 5

簡約します。

$\frac{1}{14} e^{u} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $7 x^{2} + 14 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{14} e^{7 x^{2} + 14 x} + C$

微分積分 例

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