微分積分例

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} = \frac{1}{2}$

ステップ 1

両辺に $1 + a e^{- k t}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} (1 + a e^{- k t}) = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$1 + a e^{- k t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} (1 + a e^{- k t}) = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

ステップ 2.1.1.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (a e^{- k t})$

ステップ 2.2.1.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (a e^{- k t})$

ステップ 2.2.1.3

$\frac{1}{2} (a e^{- k t})$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.3.1

$a$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$1 = \frac{1}{2} + \frac{a}{2} e^{- k t}$

ステップ 2.2.1.3.2

$\frac{a}{2}$ と $e^{- k t}$ をまとめます。

$1 = \frac{1}{2} + \frac{a e^{- k t}}{2}$

ステップ 2.2.1.4

$\frac{1}{2}$ と $\frac{a e^{- k t}}{2}$ を並べ替えます。

$1 = \frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 3

$t$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2} = 1$ として書き換えます。

$\frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2} = 1$

ステップ 3.2

$t$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$\frac{a e^{- k t}}{2} = 1 - \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{2 - 1}{2}$

ステップ 3.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.3

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$a e^{- k t} = 1$

ステップ 3.4

$a e^{- k t} = 1$ の各項を $a$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.1

$a e^{- k t} = 1$ の各項を $a$ で割ります。

$\frac{a e^{- k t}}{a} = \frac{1}{a}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$a$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{a e^{- k t}}{a} = \frac{1}{a}$

ステップ 3.4.2.1.2

$e^{- k t}$ を $1$ で割ります。

$e^{- k t} = \frac{1}{a}$

ステップ 3.5

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- k t}) = \ln (\frac{1}{a})$

ステップ 3.6

左辺を展開します。

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ステップ 3.6.1

$- k t$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- k t})$ を展開します。

$- k t \ln (e) = \ln (\frac{1}{a})$

ステップ 3.6.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- k t \cdot 1 = \ln (\frac{1}{a})$

ステップ 3.6.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- k t = \ln (\frac{1}{a})$

ステップ 3.7

$- k t = \ln (\frac{1}{a})$ の各項を $- k$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.7.1

$- k t = \ln (\frac{1}{a})$ の各項を $- k$ で割ります。

$\frac{- k t}{- k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

ステップ 3.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.7.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{k t}{k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

ステップ 3.7.2.2

$k$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{k t}{k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

ステップ 3.7.2.2.2

$t$ を $1$ で割ります。

$t = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

ステップ 3.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.7.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$t = - \frac{\ln (\frac{1}{a})}{k}$

微分積分 例

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