微分積分例

$5 L = 20480 \cdot \frac{L^{4}}{4096^{2}}$

ステップ 1

$20480 \cdot \frac{L^{4}}{4096^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$4096$ を $2$ 乗します。

$5 L = 20480 \cdot \frac{L^{4}}{16777216}$

ステップ 1.2

$4096$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$4096$ を $20480$ で因数分解します。

$5 L = 4096 (5) \cdot \frac{L^{4}}{16777216}$

ステップ 1.2.2

$4096$ を $16777216$ で因数分解します。

$5 L = 4096 \cdot 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096 \cdot 4096}$

ステップ 1.2.3

共通因数を約分します。

$5 L = 4096 \cdot 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096 \cdot 4096}$

ステップ 1.2.4

式を書き換えます。

$5 L = 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096}$

$5 L = \frac{5 L^{4}}{4096}$

ステップ 2

方程式の両辺から $\frac{5 L^{4}}{4096}$ を引きます。

$5 L - \frac{5 L^{4}}{4096} = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$5 L$ を $5 L - \frac{5 L^{4}}{4096}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$5 L$ を $5 L$ で因数分解します。

$5 L (1) - \frac{5 L^{4}}{4096} = 0$

ステップ 3.1.2

$5 L$ を $- \frac{5 L^{4}}{4096}$ で因数分解します。

$5 L (1) + 5 L (- \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

ステップ 3.1.3

$5 L$ を $5 L (1) + 5 L (- \frac{L^{3}}{4096})$ で因数分解します。

$5 L (1 - \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

ステップ 3.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$5 L (1^{3} - \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

ステップ 3.3

$\frac{L^{3}}{4096}$ を ${(\frac{L}{16})}^{3}$ に書き換えます。

$5 L (1^{3} - {(\frac{L}{16})}^{3}) = 0$

ステップ 3.4

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{L}{16}$ です。

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1^{2} + 1 (\frac{L}{16}) + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

ステップ 3.5

因数分解。

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ステップ 3.5.1

簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + 1 (\frac{L}{16}) + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

ステップ 3.5.1.2

$\frac{L}{16}$ に $1$ をかけます。

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

ステップ 3.5.1.3

積の法則を $\frac{L}{16}$ に当てはめます。

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{16^{2}})) = 0$

ステップ 3.5.1.4

$16$ を $2$ 乗します。

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256})) = 0$

ステップ 3.5.2

不要な括弧を削除します。

$5 L (1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$L = 0$

$1 - \frac{L}{16} = 0$

$1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$

ステップ 5

$L$ が $0$ に等しいとします。

$L = 0$

ステップ 6

$1 - \frac{L}{16}$ を $0$ に等しくし、 $L$ を解きます。

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ステップ 6.1

$1 - \frac{L}{16}$ が $0$ に等しいとします。

$1 - \frac{L}{16} = 0$

ステップ 6.2

$L$ について $1 - \frac{L}{16} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \frac{L}{16} = - 1$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺に $- 16$ を掛けます。

$- 16 (- \frac{L}{16}) = - 16 \cdot - 1$

ステップ 6.2.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1

$- 16 (- \frac{L}{16})$ を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1.1.1

$16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1.1.1.1

$- \frac{L}{16}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 16 \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

ステップ 6.2.3.1.1.1.2

$16$ を $- 16$ で因数分解します。

$16 (- 1) \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

ステップ 6.2.3.1.1.1.3

共通因数を約分します。

$16 \cdot - 1 \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

ステップ 6.2.3.1.1.1.4

式を書き換えます。

$- - L = - 16 \cdot - 1$

ステップ 6.2.3.1.1.2

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 L = - 16 \cdot - 1$

ステップ 6.2.3.1.1.2.2

$L$ に $1$ をかけます。

$L = - 16 \cdot - 1$

ステップ 6.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.2.1

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$L = 16$

ステップ 7

$1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}$ を $0$ に等しくし、 $L$ を解きます。

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ステップ 7.1

$1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}$ が $0$ に等しいとします。

$1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$

ステップ 7.2

$L$ について $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

両辺に最小公分母 $256$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

分配則を当てはめます。

$256 \cdot 1 + 256 (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

ステップ 7.2.1.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1.2.1

$256$ に $1$ をかけます。

$256 + 256 (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

ステップ 7.2.1.2.2

$16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.2.2.1

$16$ を $256$ で因数分解します。

$256 + 16 (16) (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

ステップ 7.2.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$256 + 16 \cdot (16 (\frac{L}{16})) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

ステップ 7.2.1.2.2.3

式を書き換えます。

$256 + 16 L + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

ステップ 7.2.1.2.3

$256$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$256 + 16 L + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

ステップ 7.2.1.2.3.2

式を書き換えます。

$256 + 16 L + L^{2} = 0$

ステップ 7.2.1.3

$256$ を移動させます。

$16 L + L^{2} + 256 = 0$

ステップ 7.2.1.4

$16 L$ と $L^{2}$ を並べ替えます。

$L^{2} + 16 L + 256 = 0$

ステップ 7.2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.2.3

$a = 1$ 、 $b = 16$ 、および $c = 256$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $L$ の値を求めます。

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 256)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.4

簡約します。

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ステップ 7.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.4.1.1

$16$ を $2$ 乗します。

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 256$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.4.1.2.2

$- 4$ に $256$ をかけます。

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 1024}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.4.1.3

$256$ から $1024$ を引きます。

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 768}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.4.1.4

$- 768$ を $- 1 (768)$ に書き換えます。

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 768}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (768)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}$ に書き換えます。

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.4.1.7

$768$ を $16^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1.7.1

$256$ を $768$ で因数分解します。

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{256 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.4.1.7.2

$256$ を $16^{2}$ に書き換えます。

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{16^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot (16 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.4.1.9

$16$ を $i$ の左に移動させます。

$L = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$L = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.2.4.3

$\frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$L = - 8 \pm 8 i \sqrt{3}$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$L = - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$

ステップ 8

最終解は $5 L (1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}) = 0$ を真にするすべての値です。

$L = 0, 16, - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$

微分積分 例

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