微分積分例

$x^{3} - 2 x^{2} y + 3 x y^{2} = 38$

ステップ 1

方程式の両辺から $38$ を引きます。

$x^{3} - 2 x^{2} y + 3 x y^{2} - 38 = 0$

ステップ 2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3

$a = 3 x$ 、 $b = - 2 x^{2}$ 、および $c = x^{3} - 38$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (3 x \cdot (x^{3} - 38))}}{2 (3 x)}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

括弧を付けます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (3 (x \cdot (x^{3} - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.2

$u = 3 (x \cdot (x^{3} - 38))$ とします。 $u$ を $3 (x \cdot (x^{3} - 38))$ に代入します。

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ステップ 4.1.2.1

積の法則を $- 2 x^{2}$ に当てはめます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.2.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.2.3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{4} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 x)}$

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{4} - 4 u}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.3

$4$ を $4 x^{4} - 4 u$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.3.1

$4$ を $4 x^{4}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4}) - 4 u}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.3.2

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4}) + 4 (- u)}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.3.3

$4$ を $4 (x^{4}) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - u)}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.4

$u$ のすべての発生を $3 (x \cdot (x^{3} - 38))$ で置き換えます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x \cdot (x^{3} - 38))))}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.5

簡約します。

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ステップ 4.1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.5.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x \cdot x^{3} + x \cdot - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.5.1.2

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.1.2.1

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

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ステップ 4.1.5.1.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x \cdot x^{3} + x \cdot - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.5.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x^{1 + 3} + x \cdot - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.5.1.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x^{4} + x \cdot - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.5.1.3

$- 38$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x^{4} - 38 \cdot x)))}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.5.1.4

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 x^{4} + 3 (- 38 x)))}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.5.1.5

$- 38$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 x^{4} - 114 x))}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.5.1.6

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 x^{4}) - (- 114 x))}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.5.1.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - 3 x^{4} - (- 114 x))}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.5.1.8

$- 114$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - 3 x^{4} + 114 x)}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.5.2

$x^{4}$ から $3 x^{4}$ を引きます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (- 2 x^{4} + 114 x)}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.6

$2 x$ を $- 2 x^{4} + 114 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.6.1

$2 x$ を $- 2 x^{4}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (2 x (- x^{3}) + 114 x)}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.6.2

$2 x$ を $114 x$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (2 x (- x^{3}) + 2 x (57))}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.6.3

$2 x$ を $2 x (- x^{3}) + 2 x (57)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (2 x (- x^{3} + 57))}}{2 \cdot (3 x)}$

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 \cdot (2 x (- x^{3} + 57))}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.7

$4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{8 x (- x^{3} + 57)}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.8

$8 x (- x^{3} + 57)$ を $2^{2} \cdot (2 x (- x^{3} + 57))$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.8.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (2) x (- x^{3} + 57)}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 x (- x^{3} + 57))}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.8.3

括弧を付けます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x (- x^{3} + 57)))}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.8.4

括弧を付けます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 x (- x^{3} + 57))}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{2 x^{2} \pm 2 \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{2 \cdot (3 x)}$

ステップ 4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{2 x^{2} \pm 2 \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{6 x}$

ステップ 4.3

$\frac{2 x^{2} \pm 2 \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{6 x}$ を簡約します。

$y = \frac{x^{2} \pm \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{3 x}$

ステップ 5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{x^{2} + \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{3 x}$

$y = \frac{x^{2} - \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{3 x}$

微分積分 例

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