微分積分例

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) \cos (2 x) = 0$

ステップ 1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) (1 - 2 \sin^{2} (x))$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.1.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin (x) \cos (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 - 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.1.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.1.1.5

指数を足して $\sin (x)$ に $\sin^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.1.1.5.1

$\sin^{2} (x)$ を移動させます。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

ステップ 2.1.1.5.2

$\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ をかけます。

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ステップ 2.1.1.5.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

ステップ 2.1.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2 = 0$

ステップ 2.1.1.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

ステップ 2.1.1.6

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

ステップ 2.1.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$2 \sin (x) \cos (x)$ から $2 \sin (x) \cos (x)$ を引きます。

$0 + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

ステップ 2.1.2.2

$0$ と $4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ をたし算します。

$4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

ステップ 3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin^{3} (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

ステップ 3.2

$\sin^{3} (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

$\sin^{3} (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin^{3} (x) = 0$

ステップ 3.2.2

$x$ について $\sin^{3} (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

ステップ 3.2.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 3.2.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sin (x) = 0$

ステップ 3.2.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 3.2.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.4.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.2.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 3.2.2.6

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 3.2.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.2.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.2.2.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.3

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.3.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 3.3.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 3.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 3.3.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 3.3.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.3.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.3.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.3.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 3.3.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 3.3.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 3.3.2.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.3.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.3.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.3.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.3.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.3.2.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.4

最終解は $4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

答えをまとめます。

$x = \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

微分積分 例

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