微分積分例

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$

ステップ 1

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$ の各項を $10$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$ の各項を $10$ で割ります。

$\frac{10 {(1 + e^{- x})}^{- 1}}{10} = \frac{3}{10}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ を分母に移動させます。

$\frac{10}{10 (1 + e^{- x})} = \frac{3}{10}$

ステップ 1.2.2

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{10}{10 (1 + e^{- x})} = \frac{3}{10}$

ステップ 1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + e^{- x}} = \frac{3}{10}$

ステップ 2

両辺に $1 + e^{- x}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$1 + e^{- x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{3}{10} (1 + e^{- x})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$1 = \frac{3}{10} \cdot 1 + \frac{3}{10} e^{- x}$

ステップ 3.2.1.2

$\frac{3}{10}$ に $1$ をかけます。

$1 = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} e^{- x}$

ステップ 3.2.1.3

$\frac{3}{10}$ と $e^{- x}$ をまとめます。

$1 = \frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10}$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10} = 1$ として書き換えます。

$\frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10} = 1$

ステップ 4.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $\frac{3}{10}$ を引きます。

$\frac{3 e^{- x}}{10} = 1 - \frac{3}{10}$

ステップ 4.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{10}{10} - \frac{3}{10}$

ステップ 4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{10 - 3}{10}$

ステップ 4.2.4

$10$ から $3$ を引きます。

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{7}{10}$

ステップ 4.3

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$3 e^{- x} = 7$

ステップ 4.4

$3 e^{- x} = 7$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.4.1

$3 e^{- x} = 7$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 e^{- x}}{3} = \frac{7}{3}$

ステップ 4.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 e^{- x}}{3} = \frac{7}{3}$

ステップ 4.4.2.1.2

$e^{- x}$ を $1$ で割ります。

$e^{- x} = \frac{7}{3}$

ステップ 4.5

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- x}) = \ln (\frac{7}{3})$

ステップ 4.6

左辺を展開します。

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ステップ 4.6.1

$- x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- x})$ を展開します。

$- x \ln (e) = \ln (\frac{7}{3})$

ステップ 4.6.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- x \cdot 1 = \ln (\frac{7}{3})$

ステップ 4.6.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- x = \ln (\frac{7}{3})$

ステップ 4.7

$- x = \ln (\frac{7}{3})$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.7.1

$- x = \ln (\frac{7}{3})$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

ステップ 4.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.7.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

ステップ 4.7.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

ステップ 4.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.7.3.1

$\frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x = - 1 \cdot \ln (\frac{7}{3})$

ステップ 4.7.3.2

$- 1 \cdot \ln (\frac{7}{3})$ を $- \ln (\frac{7}{3})$ に書き換えます。

$x = - \ln (\frac{7}{3})$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \ln (\frac{7}{3})$

10進法形式：

$x = - 0.84729786 \dots$

微分積分 例

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