微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{9 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{9}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{9} lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{9} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{9} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$\frac{1}{9} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\frac{1}{9} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{9} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{9} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{9} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{9} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cdot 4}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.6

$4$ を $\cos (4 x)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{9} lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{9} lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{1}$

ステップ 2.4

$4 \cos (4 x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{9} lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x)$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{9} \cdot 4 lim_{x \to 0} \cos (4 x)$

ステップ 3.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{9} \cdot 4 \cos (lim_{x \to 0} 4 x)$

ステップ 3.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{9} \cdot 4 \cos (4 lim_{x \to 0} x)$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{9} \cdot 4 \cos (4 \cdot 0)$

ステップ 5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{9}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{9} \cos (4 \cdot 0)$

ステップ 5.2

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{4}{9} \cos (0)$

ステップ 5.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{4}{9} \cdot 1$

ステップ 5.4

$\frac{4}{9}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{9}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{4}{9}$

10進法形式：

$0.\overline{4}$

微分積分 例

微分積分例