微分積分例

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

ステップ 2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x)$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (2 x)$ を簡約します。

$\ln ({(2 x)}^{2}) + \ln (16 x) = 0$

ステップ 2.1.1.2

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$\ln (2^{2} x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

ステップ 2.1.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\ln (4 x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

ステップ 2.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (4 x^{2} (16 x)) = 0$

ステップ 2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\ln (4 \cdot 16 x^{2} x) = 0$

ステップ 2.1.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\ln (4 \cdot 16 (x \cdot x^{2})) = 0$

ステップ 2.1.4.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 2.1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\ln (4 \cdot 16 (x^{1} x^{2})) = 0$

ステップ 2.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0$

ステップ 2.1.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0$

ステップ 2.1.5

$4$ に $16$ をかけます。

$\ln (64 x^{3}) = 0$

ステップ 3

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (64 x^{3})} = e^{0}$

ステップ 4

対数の定義を利用して $\ln (64 x^{3}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{0} = 64 x^{3}$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $64 x^{3} = e^{0}$ として書き換えます。

$64 x^{3} = e^{0}$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $e^{0}$ を引きます。

$64 x^{3} - e^{0} = 0$

ステップ 5.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$64 x^{3} - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 5.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$64 x^{3} - 1 = 0$

ステップ 5.4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$64 x^{3}$ を ${(4 x)}^{3}$ に書き換えます。

${(4 x)}^{3} - 1 = 0$

ステップ 5.4.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

${(4 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

ステップ 5.4.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4 x$ であり、 $b = 1$ です。

$(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 5.4.4

簡約します。

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ステップ 5.4.4.1

積の法則を $4 x$ に当てはめます。

$(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 5.4.4.2

$4$ を $2$ 乗します。

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 5.4.4.3

$4$ に $1$ をかけます。

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

ステップ 5.4.4.4

1のすべての数の累乗は1です。

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

ステップ 5.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$4 x - 1 = 0$

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

ステップ 5.6

$4 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.6.1

$4 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$4 x - 1 = 0$

ステップ 5.6.2

$x$ について $4 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$4 x = 1$

ステップ 5.6.2.2

$4 x = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.6.2.2.1

$4 x = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 5.6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.6.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 5.6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{4}$

ステップ 5.7

$16 x^{2} + 4 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.7.1

$16 x^{2} + 4 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

ステップ 5.7.2

$x$ について $16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.7.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.7.2.2

$a = 16$ 、 $b = 4$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 5.7.2.3

簡約します。

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ステップ 5.7.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.7.2.3.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

ステップ 5.7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 16 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 5.7.2.3.1.2.1

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

ステップ 5.7.2.3.1.2.2

$- 64$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

ステップ 5.7.2.3.1.3

$16$ から $64$ を引きます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

ステップ 5.7.2.3.1.4

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

ステップ 5.7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (48)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

ステップ 5.7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

ステップ 5.7.2.3.1.7

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 5.7.2.3.1.7.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 5.7.2.3.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 5.7.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

ステップ 5.7.2.3.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 5.7.2.3.2

$2$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

ステップ 5.7.2.3.3

$\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ を簡約します。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 5.7.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 5.8

最終解は $(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

微分積分 例

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