微分積分例

$\ln (x - 2) + \ln (2 x - 3) = 2 \ln (x)$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln ((x - 2) (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (2 x - 3)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\ln (x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

ステップ 1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

ステップ 1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

ステップ 1.3.1.3

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$\ln (2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

ステップ 1.3.1.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

ステップ 1.3.1.5

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6) = 2 \ln (x)$

ステップ 1.3.2

$- 3 x$ から $4 x$ を引きます。

$\ln (2 x^{2} - 7 x + 6) = 2 \ln (x)$

ステップ 2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$\ln (2 x^{2} - 7 x + 6) = \ln (x^{2})$

ステップ 3

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$2 x^{2} - 7 x + 6 = x^{2}$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} = 0$

ステップ 4.1.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$x^{2} - 7 x + 6 = 0$

ステップ 4.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 7 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $- 7$ です。

$- 6, - 1$

ステップ 4.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 6) (x - 1) = 0$

ステップ 4.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 6 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 4.4

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.4.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 4.4.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 4.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 4.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 4.6

最終解は $(x - 6) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 6, 1$

ステップ 5

$\ln (x - 2) + \ln (2 x - 3) = 2 \ln (x)$ が真にならない解を除外します。

$x = 6$

微分積分 例

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