微分積分例

$\ln (x) = \frac{1}{3} \cdot (\ln (16) + 2 \ln (2))$

ステップ 1

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{3} \cdot (\ln (16) + 2 \ln (2))$ を簡約します。

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ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$\ln (x) = \frac{1}{3} \ln (16) + \frac{1}{3} (2 \ln (2))$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{3}$ と $\ln (16)$ をまとめます。

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{1}{3} (2 \ln (2))$

ステップ 1.1.3

$\frac{1}{3} (2 \ln (2))$ を掛けます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2}{3} \ln (2)$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{2}{3}$ と $\ln (2)$ をまとめます。

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$

ステップ 2

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$ の各項に $3$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.1

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$ の各項に $3$ を掛けます。

$\ln (x) \cdot 3 = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$3$ を $\ln (x)$ の左に移動させます。

$3 \ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$3 \ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

ステップ 2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$3 \ln (x) = \ln (16) + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

ステップ 2.3.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \ln (x) = \ln (16) + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

ステップ 2.3.1.2.2

式を書き換えます。

$3 \ln (x) = \ln (16) + 2 \ln (2)$

ステップ 3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (x)$ を簡約します。

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + 2 \ln (2)$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\ln (16) + 2 \ln (2)$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (2)$ を簡約します。

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + \ln (2^{2})$

ステップ 4.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + \ln (4)$

ステップ 4.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (x^{3}) = \ln (16 \cdot 4)$

ステップ 4.1.3

$16$ に $4$ をかけます。

$\ln (x^{3}) = \ln (64)$

ステップ 5

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$x^{3} = 64$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺から $64$ を引きます。

$x^{3} - 64 = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$64$ を $4^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} - 4^{3} = 0$

ステップ 6.2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

ステップ 6.2.3

簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2}) = 0$

ステップ 6.2.3.2

$4$ を $2$ 乗します。

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

ステップ 6.4

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.4.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 6.5

$x^{2} + 4 x + 16$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.5.1

$x^{2} + 4 x + 16$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ について $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 4$ 、および $c = 16$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.2.3

簡約します。

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ステップ 6.5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.5.2.3.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ を掛けます。

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ステップ 6.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.2.3.1.3

$16$ から $64$ を引きます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.2.3.1.4

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (48)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.2.3.1.7

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 6.5.2.3.1.7.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.2.3.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.2.3.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.5.2.3.3

$\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

ステップ 6.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

ステップ 6.6

最終解は $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

微分積分 例

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