微分積分例

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

ステップ 2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (2 x - 1)$ を簡約します。

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - \ln ({(2 x - 1)}^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{0} = \frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4

分数を削除するためにたすき掛けします。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$

ステップ 5

$e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$ を簡約します。

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ステップ 5.1

式を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 1 {(2 x - 1)}^{2}$

ステップ 5.1.2

${(2 x - 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = {(2 x - 1)}^{2}$

ステップ 5.1.3

${(2 x - 1)}^{2}$ を $(2 x - 1) (2 x - 1)$ に書き換えます。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = (2 x - 1) (2 x - 1)$

ステップ 5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x - 1) (2 x - 1)$ を展開します。

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ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)$

ステップ 5.2.2

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)$

ステップ 5.2.3

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 5.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 5.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 5.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 5.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 5.3.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 5.3.1.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 5.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1$

ステップ 5.3.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 4 x + 1$

ステップ 6

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺から $4 x^{2}$ を引きます。

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} = - 4 x + 1$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $4 x$ を足します。

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} + 4 x = 1$

ステップ 6.3

$5 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$x^{2} + 2 x - 15 + 4 x = 1$

ステップ 6.4

$2 x$ と $4 x$ をたし算します。

$x^{2} + 6 x - 15 = 1$

ステップ 7

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺に $15$ を足します。

$x^{2} + 6 x = 1 + 15$

ステップ 7.2

$1$ と $15$ をたし算します。

$x^{2} + 6 x = 16$

ステップ 8

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$x^{2} + 6 x - 16 = 0$

ステップ 9

たすき掛けを利用して $x^{2} + 6 x - 16$ を因数分解します。

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ステップ 9.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 16$ で、その和が $6$ です。

$- 2, 8$

ステップ 9.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x + 8) = 0$

ステップ 10

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 8 = 0$

ステップ 11

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 12

$x + 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x + 8$ が $0$ に等しいとします。

$x + 8 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x = - 8$

ステップ 13

最終解は $(x - 2) (x + 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 8$

ステップ 14

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = 2$

微分積分 例

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