微分積分例

$x + 2 = \sqrt{2 x - 9} + 4$

ステップ 1

根号が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\sqrt{2 x - 9} + 4 = x + 2$

ステップ 2

$\sqrt{2 x - 9}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$\sqrt{2 x - 9} = x + 2 - 4$

ステップ 2.2

$2$ から $4$ を引きます。

$\sqrt{2 x - 9} = x - 2$

ステップ 3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{2 x - 9}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x - 9}$ を ${(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

${({(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

${({(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 x - 9)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.2.1.2

簡約します。

$2 x - 9 = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

${(x - 2)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

${(x - 2)}^{2}$ を $(x - 2) (x - 2)$ に書き換えます。

$2 x - 9 = (x - 2) (x - 2)$

ステップ 4.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 4.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$2 x - 9 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

ステップ 4.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$2 x - 9 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

ステップ 4.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 x - 9 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 4.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x - 9 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 4.3.1.3.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x - 9 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 4.3.1.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$2 x - 9 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

ステップ 4.3.1.3.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$2 x - 9 = x^{2} - 4 x + 4$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} - 4 x + 4 = 2 x - 9$

ステップ 5.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$x^{2} - 4 x + 4 - 2 x = - 9$

ステップ 5.2.2

$- 4 x$ から $2 x$ を引きます。

$x^{2} - 6 x + 4 = - 9$

ステップ 5.3

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x^{2} - 6 x + 4 + 9 = 0$

ステップ 5.3.2

$4$ と $9$ をたし算します。

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

ステップ 5.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.5

$a = 1$ 、 $b = - 6$ 、および $c = 13$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6

簡約します。

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ステップ 5.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.6.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 13$ を掛けます。

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ステップ 5.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.2.2

$- 4$ に $13$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.3

$36$ から $52$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

ステップ 5.6.3

$\frac{6 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = 3 \pm 2 i$

ステップ 5.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

微分積分 例

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