微分積分例

$\sin (x) = \frac{- 2 + \sqrt{20}}{4 \sqrt{2}}$

ステップ 1

$\frac{- 2 + \sqrt{20}}{4 \sqrt{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$\sin (x) = \frac{- 2 + \sqrt{4 (5)}}{4 \sqrt{2}}$

ステップ 1.1.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \frac{- 2 + \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{4 \sqrt{2}}$

ステップ 1.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\sin (x) = \frac{- 2 + 2 \sqrt{5}}{4 \sqrt{2}}$

ステップ 1.2

$- 2 + 2 \sqrt{5}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\sin (x) = \frac{2 \cdot - 1 + 2 \sqrt{5}}{4 \sqrt{2}}$

ステップ 1.2.2

$2$ を $2 \sqrt{5}$ で因数分解します。

$\sin (x) = \frac{2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{5})}{4 \sqrt{2}}$

ステップ 1.2.3

$2$ を $2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{5})$ で因数分解します。

$\sin (x) = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{5})}{4 \sqrt{2}}$

ステップ 1.2.4

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.1

$2$ を $4 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\sin (x) = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{5})}{2 (2 \sqrt{2})}$

ステップ 1.2.4.2

共通因数を約分します。

$\sin (x) = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{5})}{2 (2 \sqrt{2})}$

ステップ 1.2.4.3

式を書き換えます。

$\sin (x) = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 1.3

$\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (x) = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.4.1

$\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 1.4.2

$\sqrt{2}$ を移動させます。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 1.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

ステップ 1.4.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

ステップ 1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 1.4.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 1.4.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.4.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.4.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.4.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.7.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.4.7.4.2

式を書き換えます。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

ステップ 1.4.7.5

指数を求めます。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{4}$

ステップ 1.6

分配則を当てはめます。

$\sin (x) = \frac{- 1 \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{2}}{4}$

ステップ 1.7

$- 1 \sqrt{2}$ を $- \sqrt{2}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{2}}{4}$

ステップ 1.8

根の積の法則を使ってまとめます。

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{5 \cdot 2}}{4}$

ステップ 1.9

$5$ に $2$ をかけます。

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{4}$

ステップ 1.10

$- 1$ を $- \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\sin (x) = \frac{- (\sqrt{2}) + \sqrt{10}}{4}$

ステップ 1.11

$- 1$ を $\sqrt{10}$ で因数分解します。

$\sin (x) = \frac{- (\sqrt{2}) - 1 (- \sqrt{10})}{4}$

ステップ 1.12

$- 1$ を $- (\sqrt{2}) - 1 (- \sqrt{10})$ で因数分解します。

$\sin (x) = \frac{- (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{4}$

ステップ 1.13

式を簡約します。

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ステップ 1.13.1

$- (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ を $- 1 (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ に書き換えます。

$\sin (x) = \frac{- 1 (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{4}$

ステップ 1.13.2

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4}$

ステップ 2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4})$

ステップ 3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4})$ の値を求めます。

$x = 0.45227844$

ステップ 4

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265$

ステップ 5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 5.1

$2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265 - 2 π$

ステップ 5.2

$2.6893142$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265$ と隣接します。

$x = 2.6893142$

ステップ 6

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.45227844 + 2 π n, 2.6893142 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分 例

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