微分積分例

$\frac{1}{{(2 i)}^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

積の法則を $2 i$ に当てはめます。

$\frac{1}{2^{3} i^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{8 i^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 1.3

$i^{2}$ を因数分解します。

$\frac{1}{8 (i^{2} \cdot i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 1.4

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{1}{8 (- 1 \cdot i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 1.5

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$\frac{1}{8 \cdot - 1 i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 1.6

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

負をくくり出します。

$\frac{1}{- (8 i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 1.6.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{- 8 i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 2

$\frac{1}{- 8 i}$ の分子と分母に $- 8 i$ の共役を掛け、分母を実数にします。

$\frac{1}{- 8 i} \cdot \frac{i}{i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

まとめる。

$\frac{1 i}{- 8 i i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 3.2

$i$ に $1$ をかけます。

$\frac{i}{- 8 i i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 3.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

括弧を付けます。

$\frac{i}{- 8 (i i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 3.3.2

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{i}{- 8 (i^{1} i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 3.3.3

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{i}{- 8 (i^{1} i^{1})} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{i}{- 8 i^{1 + 1}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{i}{- 8 i^{2}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 3.3.6

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{i}{- 8 \cdot - 1} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 4

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{i}{8} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

ステップ 5

二項定理を利用します。

$\frac{i}{8} \cdot ({(e^{i x})}^{3} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

${(e^{i x})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{i x \cdot 3} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.1.2

$3$ を $i x$ の左に移動させます。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} + 3 \cdot - 1 {(e^{i x})}^{2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 {(e^{i x})}^{2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.4

${(e^{i x})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x \cdot 2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.4.2

$2$ を $i x$ の左に移動させます。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{2 i x} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.5

指数を足して $e^{2 i x}$ に $e^{- i x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.5.1

$e^{- i x}$ を移動させます。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 (e^{- i x} e^{2 i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{- i x + 2 i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.5.3

$- i x$ と $2 i x$ をたし算します。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{1 i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.5.4

$i$ に $1$ をかけます。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.6

積の法則を $- e^{- i x}$ に当てはめます。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} ({(- 1)}^{2} {(e^{- i x})}^{2}) + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 \cdot 1 e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.9

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.10

${(e^{- i x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.1.10.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} e^{- i x \cdot 2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.10.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} e^{- 2 i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.11

指数を足して $e^{i x}$ に $e^{- 2 i x}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.11.1

$e^{- 2 i x}$ を移動させます。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 (e^{- 2 i x} e^{i x}) + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.11.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- 2 i x + i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.11.3

$- 2 i x$ と $i x$ をたし算します。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.12

積の法則を $- e^{- i x}$ に当てはめます。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} + {(- 1)}^{3} {(e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.13

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - {(e^{- i x})}^{3})$

ステップ 6.1.14

${(e^{- i x})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.1.14.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - e^{- i x \cdot 3})$

ステップ 6.1.14.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - e^{- 3 i x})$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{i}{8} e^{3 i x} + \frac{i}{8} (- 3 e^{i x}) + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{i}{8}$ と $e^{3 i x}$ をまとめます。

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{i}{8} (- 3 e^{i x}) + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

ステップ 7.2

$\frac{i}{8} (- 3 e^{i x})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$- 3$ と $\frac{i}{8}$ をまとめます。

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i}{8} e^{i x} + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

ステップ 7.2.2

$\frac{- 3 i}{8}$ と $e^{i x}$ をまとめます。

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

ステップ 7.3

$\frac{i}{8} (3 e^{- i x})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$3$ と $\frac{i}{8}$ をまとめます。

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i}{8} e^{- i x} + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

ステップ 7.3.2

$\frac{3 i}{8}$ と $e^{- i x}$ をまとめます。

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

ステップ 7.4

$\frac{i}{8}$ と $e^{- 3 i x}$ をまとめます。

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{i e^{3 i x}}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

ステップ 9

$i$ を移動させます。

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

ステップ 10

$i$ と $e^{3 x i}$ を並べ替えます。

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

ステップ 11

$i$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

ステップ 12

$i$ を移動させます。

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

ステップ 13

$i$ を移動させます。

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 i e^{- 1 x i}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

ステップ 14

$i$ を移動させます。

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

ステップ 15

$i$ を移動させます。

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{i e^{- 3 x i}}{8}$

ステップ 16

$i$ と $e^{- 3 x i}$ を並べ替えます。

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

ステップ 17

$e^{3 x i} i$ の因数を並べ替えます。

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

ステップ 18

$3 e^{x i} i$ の因数を並べ替えます。

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

ステップ 19

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 e^{- x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

ステップ 20

$3 e^{- x i} i$ の因数を並べ替えます。

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- x i}}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

ステップ 21

$e^{- 3 x i} i$ の因数を並べ替えます。

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- x i}}{8} - \frac{i e^{- 3 x i}}{8}$

微分積分 例

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