微分積分例

${(\frac{1}{2} \cdot (e^{x} - e^{- x}))}^{2}$

ステップ 1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

${(\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{- x}))}^{2}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{2}$ と $e^{x}$ をまとめます。

${(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- x}))}^{2}$

ステップ 1.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{- x}$ をまとめます。

${(\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})}^{2}$

ステップ 1.4

${(\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})}^{2}$ を $(\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}) (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})$ に書き換えます。

$(\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}) (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}) (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})$ を展開します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x}}{2} (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

まとめる。

$\frac{e^{x} e^{x}}{2 \cdot 2} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 3.1.2

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{x + x}}{2 \cdot 2} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 3.1.2.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{e^{2 x}}{2 \cdot 2} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{e^{- x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 3.1.5

$- \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{e^{- x}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.5.1

$\frac{e^{- x}}{2}$ に $\frac{e^{x}}{2}$ をかけます。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{e^{- x} e^{x}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 3.1.5.2

指数を足して $e^{- x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{e^{- x + x}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 3.1.5.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{e^{0}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 3.1.5.3

$e^{0}$ を簡約します。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 3.1.5.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 3.1.6

$- \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.6.1

$\frac{e^{x}}{2}$ に $\frac{e^{- x}}{2}$ をかけます。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{e^{x} e^{- x}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 3.1.6.2

指数を足して $e^{x}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.6.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{e^{x - x}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 3.1.6.2.2

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{e^{0}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 3.1.6.3

$e^{0}$ を簡約します。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 3.1.6.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

ステップ 3.1.7

$- \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$ を掛けます。

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ステップ 3.1.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 \frac{e^{- x}}{2} \frac{e^{- x}}{2}$

ステップ 3.1.7.2

$\frac{e^{- x}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{- x}}{2}$

ステップ 3.1.7.3

$\frac{e^{- x}}{2}$ に $\frac{e^{- x}}{2}$ をかけます。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{e^{- x} e^{- x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.7.4

指数を足して $e^{- x}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.7.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{e^{- x - x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.7.4.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.7.5

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

ステップ 3.2

$- \frac{1}{4}$ から $\frac{1}{4}$ を引きます。

$\frac{e^{2 x}}{4} - 2 (\frac{1}{4}) + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x}}{4} + 2 (- 1) \frac{1}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

ステップ 4.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

ステップ 4.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

ステップ 4.1.4

式を書き換えます。

$\frac{e^{2 x}}{4} - 1 (\frac{1}{2}) + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

ステップ 4.2

$- 1 (\frac{1}{2})$ を $- (\frac{1}{2})$ に書き換えます。

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

微分積分 例

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