微分積分例

$f (z) = (4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (2 z^{3} - z)$

ステップ 1

$f (z) = 4 z^{4} + 2 z^{2} + 1$ および $g (z) = 2 z^{3} - z$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ は $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [2 z^{3} - z] + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

ステップ 2

総和則では、 $2 z^{3} - z$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [2 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]$ です。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (\frac{d}{d z} [2 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

ステップ 3

$\frac{d}{d z} [2 z^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $2 z^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d z} [z^{3}]$ です。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (2 \frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (2 (3 z^{2}) + \frac{d}{d z} [- z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

ステップ 3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} + \frac{d}{d z} [- z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

ステップ 4

$\frac{d}{d z} [- z]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 1$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $- z$ の微分係数は $- \frac{d}{d z} [z]$ です。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - \frac{d}{d z} [z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1 \cdot 1) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

ステップ 4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

ステップ 5

総和則では、 $4 z^{4} + 2 z^{2} + 1$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [4 z^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ です。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (\frac{d}{d z} [4 z^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

ステップ 6

$\frac{d}{d z} [4 z^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$4$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $4 z^{4}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d z} [z^{4}]$ です。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (4 \frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

ステップ 6.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (4 (4 z^{3}) + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

ステップ 6.3

$4$ に $4$ をかけます。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

ステップ 7

$\frac{d}{d z} [2 z^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$2$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $2 z^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ です。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 2 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

ステップ 7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 2 (2 z) + \frac{d}{d z} [1])$

ステップ 7.3

$2$ に $2$ をかけます。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z + \frac{d}{d z} [1])$

ステップ 8

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$1$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z + 0)$

ステップ 8.2

$16 z^{3} + 4 z$ と $0$ をたし算します。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$1$ を $(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$1$ を $(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)$ で因数分解します。

$1 ((4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$

ステップ 9.1.2

$1$ を $(2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$ で因数分解します。

$1 ((4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)) + 1 ((2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z))$

ステップ 9.1.3

$1$ を $1 ((4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)) + 1 ((2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z))$ で因数分解します。

$1 ((4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z))$

ステップ 9.2

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$ に $1$ をかけます。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$

ステップ 9.3

項を並べ替えます。

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)$ を展開します。

$4 z^{4} (6 z^{2}) + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 \cdot 6 z^{4} z^{2} + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.2.2

指数を足して $z^{4}$ に $z^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.2.2.1

$z^{2}$ を移動させます。

$4 \cdot 6 (z^{2} z^{4}) + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \cdot 6 z^{2 + 4} + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.2.2.3

$2$ と $4$ をたし算します。

$4 \cdot 6 z^{6} + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.2.3

$4$ に $6$ をかけます。

$24 z^{6} + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.2.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.2.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 \cdot 6 z^{2} z^{2} + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.2.6

指数を足して $z^{2}$ に $z^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.2.6.1

$z^{2}$ を移動させます。

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 \cdot 6 (z^{2} z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.2.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 \cdot 6 z^{2 + 2} + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.2.6.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 \cdot 6 z^{4} + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.2.7

$2$ に $6$ をかけます。

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 12 z^{4} + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.2.8

$- 1$ に $2$ をかけます。

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 12 z^{4} - 2 z^{2} + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.2.9

$6 z^{2}$ に $1$ をかけます。

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 12 z^{4} - 2 z^{2} + 6 z^{2} + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.2.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 12 z^{4} - 2 z^{2} + 6 z^{2} - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.3

$- 4 z^{4}$ と $12 z^{4}$ をたし算します。

$24 z^{6} + 8 z^{4} - 2 z^{2} + 6 z^{2} - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.4

$- 2 z^{2}$ と $6 z^{2}$ をたし算します。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.5

分配法則（FOIL法）を使って $(16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.5.1

分配則を当てはめます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 z^{3} (2 z^{3} - z) + 4 z (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.5.2

分配則を当てはめます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 z^{3} (2 z^{3}) + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3} - z)$

ステップ 9.4.5.3

分配則を当てはめます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 z^{3} (2 z^{3}) + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 \cdot 2 z^{3} z^{3} + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6.1.2

指数を足して $z^{3}$ に $z^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.6.1.2.1

$z^{3}$ を移動させます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 \cdot 2 (z^{3} z^{3}) + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 \cdot 2 z^{3 + 3} + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6.1.2.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 \cdot 2 z^{6} + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6.1.3

$16$ に $2$ をかけます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 z^{3} z + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6.1.5

指数を足して $z^{3}$ に $z$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.6.1.5.1

$z$ を移動させます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 (z \cdot z^{3}) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6.1.5.2

$z$ に $z^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.6.1.5.2.1

$z$ を $1$ 乗します。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 (z^{1} z^{3}) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 z^{1 + 3} + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6.1.5.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 z^{4} + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6.1.6

$16$ に $- 1$ をかけます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6.1.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 z \cdot z^{3} + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6.1.8

指数を足して $z$ に $z^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.6.1.8.1

$z^{3}$ を移動させます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 (z^{3} z) + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6.1.8.2

$z^{3}$ に $z$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.6.1.8.2.1

$z$ を $1$ 乗します。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 (z^{3} z^{1}) + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6.1.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 z^{3 + 1} + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6.1.8.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 z^{4} + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6.1.9

$4$ に $2$ をかけます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} + 4 z (- z)$

ステップ 9.4.6.1.10

積の可換性を利用して書き換えます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} + 4 \cdot - 1 z \cdot z$

ステップ 9.4.6.1.11

指数を足して $z$ に $z$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.6.1.11.1

$z$ を移動させます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} + 4 \cdot - 1 (z \cdot z)$

ステップ 9.4.6.1.11.2

$z$ に $z$ をかけます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} + 4 \cdot - 1 z^{2}$

ステップ 9.4.6.1.12

$4$ に $- 1$ をかけます。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} - 4 z^{2}$

ステップ 9.4.6.2

$- 16 z^{4}$ と $8 z^{4}$ をたし算します。

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 8 z^{4} - 4 z^{2}$

ステップ 9.5

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 8 z^{4} - 4 z^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$8 z^{4}$ から $8 z^{4}$ を引きます。

$24 z^{6} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 0 - 4 z^{2}$

ステップ 9.5.2

$24 z^{6} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6}$ と $0$ をたし算します。

$24 z^{6} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 4 z^{2}$

ステップ 9.5.3

$4 z^{2}$ から $4 z^{2}$ を引きます。

$24 z^{6} - 1 + 32 z^{6} + 0$

ステップ 9.5.4

$24 z^{6} - 1 + 32 z^{6}$ と $0$ をたし算します。

$24 z^{6} - 1 + 32 z^{6}$

ステップ 9.6

$24 z^{6}$ と $32 z^{6}$ をたし算します。

$56 z^{6} - 1$

微分積分 例

微分積分例